Question

【題目】四棱錐P﹣ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，又PA=PD，∠APD=60°，E，G分別是BC，PE的中點

（1）求證：AD⊥PE
（2）求二面角E﹣AD﹣G的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，取AD中點O，連結OP，OE，

∵PA=PD，∴OP⊥AD，

又E是BC的中點，∴OE∥AB，∴OE⊥AD，

又OP∩OE=O，∴AD⊥平面OPE，

∵PE平面OPE，∴AD⊥PE．

（2）解：取OE的中點F，連結FG、OG，則由（1）知AD⊥OG，

又OE⊥AD，∴∠GOE是二面角E﹣AD﹣G的平面角，

∵PA=PD，∠APD=60°，

∴△APD為等邊三角形，且邊長為2，

∴OP= ×2= ，FG= ，OF= =1，

∴OG= ，∴cos ．

∴二面角E﹣AD﹣G的余弦值為 ．

【解析】（1）取AD中點O，連結OP，OE，推導出OP⊥AD，OE⊥AD，由此能證明AD⊥PE．（2）取OE的中點F，連結FG、OG，則AD⊥OG，OE⊥AD，從而∠GOE是二面角E﹣AD﹣G的平面角，由此能求出二面角E﹣AD﹣G的余弦值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解空間中直線與直線之間的位置關系(相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點)．