Question

【題目】定義運(yùn)算“”：對(duì)于任意，（等式的右邊是通常的加減乘運(yùn)算）．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)任意都成立．

（1）求的值，并推導(dǎo)出用表示的解析式；

（2）若，令，證明數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）若，令，數(shù)列滿足，求正實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）直接利用信息的應(yīng)用和賦值法的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式的表達(dá)式；

（2）利用構(gòu)造法對(duì)和數(shù)列的關(guān)系式進(jìn)行變換，進(jìn)一步利用定義求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）利用（1）和（2）的結(jié)論，進(jìn)一步函數(shù)的單調(diào)性和極限的應(yīng)用求出參數(shù)的取值范圍．

（1）∵，
．
令，得，
．
當(dāng)時(shí)，有．
，

．
（2），
，整理得．
．
∴數(shù)列是以首項(xiàng)為1、公差為的等差數(shù)列．
（3）結(jié)合（1），且，
，即．
．
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，總是滿足；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，是等比數(shù)列．
．
．

若時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且時(shí)，，不滿足．
若時(shí)，， 數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，故又，同樣恒有成立；
若時(shí)，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，．
由，即此時(shí)當(dāng)時(shí)，滿足．
綜上，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.