【題目】四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,.,且平面,,點(diǎn)分別是線段上的中點(diǎn),上.且.

(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)求直線與平面的成角的正弦值;

(Ⅲ)請(qǐng)畫(huà)出平面與四棱錐的表面的交線,并寫(xiě)出作圖的步驟.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)四邊形為平面與四棱錐的表面的交線

【解析】分析:(Ⅰ)推導(dǎo)出,由此能證明平面;

(Ⅱ)推導(dǎo)出,,,以O(shè)為原點(diǎn),OA、OB、OP分別為x、y、z軸建立空間直角做消息,利用向量法能求出直線AB與平面EFG的所成角的正弦值;

(Ⅲ)法1:延長(zhǎng)分別交延長(zhǎng)線于,連接,發(fā)現(xiàn)剛好過(guò)點(diǎn),,連接,則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.

法2:記平面與直線的交點(diǎn)為,設(shè),,利用向量法求出,從而即為點(diǎn).連接,,則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.

解析:解:(Ⅰ)在中,因?yàn)辄c(diǎn)分別是線段上的中點(diǎn),

所以

因?yàn)?/span>平面,平面.

所以平面.

(Ⅱ)因?yàn)榈酌?/span>是邊長(zhǎng)為2的菱形,

所以

因?yàn)?/span>平面,

所以,,

如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則依題意可得

,,,,,,,

所以,,

設(shè)平面的法向量為,則由可得,

,可得

因?yàn)?/span>.

所以直線與平面的成角的正弦值為

(Ⅲ)法Ⅰ:延長(zhǎng)分別交延長(zhǎng)線于,連接,發(fā)現(xiàn)剛好過(guò)點(diǎn),,連接,則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.

法2:記平面與直線的交點(diǎn)為,設(shè),則

,可得.

所以即為點(diǎn).

所以連接,,則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.

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5860 6520 7326 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754

7638 6834 6460 6830 9860 8753 9450 9860 7290 7850

對(duì)這20個(gè)數(shù)據(jù)按組距1000進(jìn)行分組,并統(tǒng)計(jì)整理,繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:

步數(shù)分組統(tǒng)計(jì)表(設(shè)步數(shù)為

組別

步數(shù)分組

頻數(shù)

2

10

2

(Ⅰ)寫(xiě)出的值,并回答這20名“微信運(yùn)動(dòng)”團(tuán)隊(duì)成員一天行走步數(shù)的中位數(shù)落在哪個(gè)組別;

(Ⅱ)記組步數(shù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差分別為,,組步數(shù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差分別為,,試分別比較與以,的大;(只需寫(xiě)出結(jié)論)

(Ⅲ)從上述兩個(gè)組別的數(shù)據(jù)中任取2個(gè)數(shù)據(jù),記這2個(gè)數(shù)據(jù)步數(shù)差的絕對(duì)值為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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