【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ) 當(dāng)a=0時,求曲線f(x)在x =1處的切線方程;
(Ⅱ) 設(shè)函數(shù),求函數(shù)h(x)的極值;
(Ⅲ) 若在[1,e](e=2.718 28…)上存在一點x0,使得成立,求a的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)切線方程為 ;
(Ⅱ)當(dāng) 時, 在 處取得極大值 ,無極小值;當(dāng) 時, 在區(qū)間 上無極值;
(Ⅲ)或
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計算,根據(jù)點斜式即可求出切線方程;(Ⅱ)求出的導(dǎo)數(shù),通過討論的范圍,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值即可;(Ⅲ)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上,有,通過討論的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)性,從而求出的范圍即可.
試題解析:(Ⅰ) 當(dāng)a=0時,f (x) =, f (1) =1, 則切點為(1, 1),分
∵, ∴切線的斜率為,
∴曲線f (x)在點(1, 1)處的切線方程為y1= ( x1),即x+ y2=0
(Ⅱ)依題意,定義域為(0, +∞),
∴,
①當(dāng)a+1>0,即a>1時,令,∵x>0,∴0<x<1+ a,
此時,h(x) 在區(qū)間(0, a+1)上單調(diào)遞增,
令,得 x>1+ a.
此時,h(x)在區(qū)間(a+1,+∞)上單調(diào)遞減.
②當(dāng)a+1≤0,即a≤1時, 恒成立, h(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減.
綜上,當(dāng)a>1時,h(x)在x=1+a處取得極大值h(1+a)=,無極小值;
當(dāng)a≤1時,h(x)在區(qū)間(0,+∞)上無極值.
(Ⅲ) 依題意知,在[1, e]上存在一點x0,使得成立,
即在[1, e]上存在一點x0,使得h(x0)≥0,
故函數(shù)在[1, e]上,有h(x)max≥0.
由(Ⅱ)可知,①當(dāng)a+1≥e, 即a≥e1時,h(x)在[1, e]上單調(diào)遞增,
∴, ∴,
∵,∴.
②當(dāng)0<a+1≤1,或a≤1,即a≤0時,h(x)在[1, e]上單調(diào)遞減,
∴,∴a ≤2.
③當(dāng)1<a+1<e,即0<a<e1時,
由(Ⅱ)可知,h(x)在x=1+a處取得極大值也是區(qū)間(0, +∞)上的最大值,
即h(x)max=h(1+a)=,
∵0<ln(a+1)<1, ∴h(1+a)<0在[1, e]上恒成立,
此時不存在x0使h(x0)≥0成立.
綜上可得,所求a的取值范圍是或a≤2.
【方法點晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值值,屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是:(1)求出在處的導(dǎo)數(shù),即在點 出的切線斜率(當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時,在 處導(dǎo)數(shù)不存在,切線方程為);(2)由點斜式求得切線方程.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中, , 平面, .
(1)設(shè)點為的中點,求證: 平面;
(2)線段上是否存在一點,使得直線與平面所成的角的正弦值為?若存在,試確定點的位置;若不存在,請說明理由.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位,且以原點為極點,以軸正半軸為極軸)中,圓的方程為.
(1)求圓的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)圓與直線交于點,若點的坐標(biāo)為,求的最小值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c,(b,c∈R),集合A={x丨f(x)=0},B={x|f(f(x))=0},若存在x0∈B,x0A則實數(shù)b的取值范圍是( )
A.b≠0
B.b<0或b≥4
C.0≤b<4
D.b≤4或b≥4
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的傾斜角為且經(jīng)過點,以原點為極點,以軸正半軸為極軸,與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位,建立極坐標(biāo)系,設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)若直線與曲線有公共點,求的取值范圍;
(2)設(shè)為曲線上任意一點,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù) ,若滿足f(1)=
(1)求實數(shù)a的值;
(2)證明:f(x)為奇函數(shù).
(3)判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
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【題目】廣東某市一玩具廠生產(chǎn)一種玩具深受大家喜歡,經(jīng)市場調(diào)查該商品每月的銷售量(單位:千件)與銷售價格(單位:元/件)滿足關(guān)系式,其中, 為常數(shù).已知銷售價格為4元/件時,每日可售出玩具21千件.
(1)求的值;
(2)假設(shè)該廠生產(chǎn)這種玩具的成本、員工工資等所有開銷折合為每件2元(只考慮銷售出的件數(shù)),試確定銷售價格的值,使該廠每日銷售這種玩具所獲得的利潤最大.(保留1位小數(shù))
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【題目】如圖所示,在四棱錐中, 平面,底面是菱形, , , . 為與的交點, 為棱上一點,
(1)證明:平面⊥平面;
(2)若三棱錐的體積為,
求證: ∥平面.
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【題目】如圖,關(guān)于正方體ABCD﹣A1B1C1D1 , 下面結(jié)論錯誤的是( )
A.BD⊥平面ACC1A1
B.AC⊥BD
C.A1B∥平面CDD1C1
D.該正方體的外接球和內(nèi)接球的半徑之比為2:1
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