【題目】設數(shù)列{an}的各項均為正數(shù).若對任意的n∈N* , 存在k∈N* , 使得an+k2=anan+2k成立,則稱數(shù)列{an}為“Jk型”數(shù)列.
(1)若數(shù)列{an}是“J2型”數(shù)列,且a2=8,a8=1,求a2n;
(2)若數(shù)列{an}既是“J3型”數(shù)列,又是“J4型”數(shù)列,證明:數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
【答案】
(1)解:∵數(shù)列{an}是“J2”型數(shù)列,
∴ =anan+4
∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別組成等比數(shù)列
設偶數(shù)項組成的等比數(shù)列的公比為q,
∵a2=8,a8=1,∴ ,∴q=
∴a2n=8× =24﹣n;
(2)解:由題設知,當n≥8時,an﹣6,an﹣3,an,an+3,an+6成等比數(shù)列;an﹣6,an﹣2,an+2,an+6也成等比數(shù)列.
從而當n≥8時,an2=an﹣3an+3=an﹣6an+6,(*)且an﹣6an+6=an﹣2an+2.
所以當n≥8時,an2=an﹣2an+2,即
于是當n≥9時,an﹣3,an﹣1,an+1,an+3成等比數(shù)列,從而an﹣3an+3=an﹣1an+1,故由(*)式知an2=an﹣1an+1,
即 .
當n≥9時,設 ,當2≤m≤9時,m+6≥8,從而由(*)式知am+62=amam+12,
故am+72=am+1am+13,從而 ,
于是 .
因此 對任意n≥2都成立.
因為 ,所以 ,
于是 .
故數(shù)列{an}為等比數(shù)列.
【解析】(1)利用數(shù)列{an}是“J2”型數(shù)列,可得數(shù)列{an}的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別組成等比數(shù)列,根據(jù)a2=8,a8=1,求出數(shù)列的公比,即可得到通項;(2)由題設知,當n≥8時,an﹣6 , an﹣3 , an , an+3 , an+6成等比數(shù)列;an﹣6 , an﹣2 , an+2 , an+6也成等比數(shù)列,可得 ,進而可得 , 對任意n≥2都成立,由此可得數(shù)列{an}為等比數(shù)列.
【考點精析】本題主要考查了等比關系的確定和數(shù)列的通項公式的相關知識點,需要掌握等比數(shù)列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷;如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線方程為,問:是否存在過點M(1,1)的直線l,使得直線與雙曲線交于P,Q兩點,且M是線段PQ的中點?如果存在,求出直線的方程,如果不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,某廣場中間有一塊邊長為2百米的菱形狀綠化區(qū)ABCD,其中BMN是半徑為1百米的扇形,∠ABC= .管理部門欲在該地從M到D修建小路:在 上選一點P(異于M,N兩點),過點P修建與BC平行的小路PQ.
(1)若∠PBC= ,求PQ的長度;
(2)當點P選擇在何處時,才能使得修建的小路 與PQ及QD的總長最?并說明理由.
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【題目】已知 , 是非零不共線的向量,設 = + ,定義點集M={K| = },當K1 , K2∈M時,若對于任意的r≥2,不等式| |≤c| |恒成立,則實數(shù)c的最小值為 .
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【題目】已知橢圓C1: + =1,圓C2:x2+y2=t經(jīng)過橢圓C1的焦點.
(1)設P為橢圓上任意一點,過點P作圓C2的切線,切點為Q,求△POQ面積的取值范圍,其中O為坐標原點;
(2)過點M(﹣1,0)的直線l與曲線C1 , C2自上而下依次交于點A,B,C,D,若|AB|=|CD|,求直線l的方程.
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【題目】如果函數(shù)在其定義域內存在,使得成立,則稱函數(shù)為“可分拆函數(shù)”.
(1)試判斷函數(shù)是否為“可分拆函數(shù)”?并說明你的理由;
(2)設函數(shù)為“可分拆函數(shù)”,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值為k.
(1)求k的值;
(2)若a,b,c∈R, +b2=k,求b(a+c)的最大值.
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