【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)在上的最小值;
(2)若對任意的恒成立.試求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若時,求函數(shù)在上的最小值.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)當(dāng)時,利用基本不等式即可求得最小值;
(2)由題意可得在上恒成立,根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出的最大值即可得解;
(3)先證明在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,對、兩種情況進行分類討論分析函數(shù)的單調(diào)性從而求出最值.
(1)當(dāng)時,,
當(dāng)時,,
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立,
所以的最小值為2;
(2)根據(jù)題意可得在上恒成立,
等價于在上恒成立,
因為在上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減,所以,
所以;
(3),設(shè),
,
,即,
在單調(diào)遞減,同理可證在單調(diào)遞增,
當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
;
當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減,
在上單調(diào)遞增,
.
所以.
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【題目】下列判斷正確的是( )
A. 設(shè)是實數(shù),則“”是“ ”的充分而不必要條件
B. :“,”則有:不存在,
C. 命題“若,則”的否命題為:“若,則”
D. “,”為真命題
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【題目】已知橢圓的離心率為,傾斜角為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點且與圓相切.
(1)求橢圓 的方程;
(2)若直線與圓相切于點,且交橢圓于兩點,射線于橢圓交于點,設(shè)的面積于的面積分別為.
①求的最大值;
②當(dāng)取得最大值時,求的值.
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【題目】某中學(xué)隨機選取了名男生,將他們的身高作為樣本進行統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖.觀察圖中數(shù)據(jù),完成下列問題.
(Ⅰ)求的值及樣本中男生身高在(單位: )的人數(shù);
(Ⅱ)假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替,通過樣本估計該校全體男生的平均身高;
(Ⅲ)在樣本中,從身高在和(單位: )內(nèi)的男生中任選兩人,求這兩人的身高都不低于的概率.
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【題目】為了解某校學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的情況,采用按性別分層抽樣的方法進行調(diào)查.已知該校共有學(xué)生960人,其中男生560人,從全校學(xué)生中抽取了容量為的樣本,得到一周參加社區(qū)服務(wù)的時間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:
(1)求,;
(2)能否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時間是否超過1小時與性別有關(guān)?
附:
.
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【題目】已知橢圓的左焦點為,左頂點為,離心率為,點 滿足條件.
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)設(shè)過點的直線與橢圓交于兩點,記和的面積分別為,證明: .
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)=0時,求實數(shù)的m值及曲線在點(1, )處的切線方程;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.
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【題目】設(shè)橢圓的左右焦點分別為F1,F2,點P 在橢圓上運動, 的最大值為m, 的最小值為n,且m≥2n,則該橢圓的離心率的取值范圍為________
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