【題目】已知橢圓的離心率為，傾斜角為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)且與圓相切.

(1)求橢圓 的方程；

(2)若直線與圓相切于點(diǎn)，且交橢圓于兩點(diǎn)，射線于橢圓交于點(diǎn)，設(shè)的面積于的面積分別為.

①求的最大值；

②當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值.

【答案】（1） ；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)離心率為、圓心到直線距離等于半徑，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓 的方程；(2) 直線與圓相切得： ，將直線代入橢圓的方程得： ①根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式、弦長公式結(jié)合韋達(dá)定理及三角形面積公式可得，利用基本不等式可得結(jié)果；②當(dāng)取得最大值時(shí)， ， .

試題解析：(1)依題直線的斜率.設(shè)直線的方程為,

依題有：

(2)由直線與圓相切得： .

設(shè).將直線代入橢圓的方程得：

,且.

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,故的面積為：

,

當(dāng).等號成立.故的最大值為1.

設(shè)，由直線與圓相切于點(diǎn)，可得，

.

.,

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形面積最值的.

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【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)的零點(diǎn)至少有兩個(gè)，求實(shí)數(shù)的最小值.

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【題目】已知函數(shù)f (x)＝x－(a＋1)ln x－(a∈R)，g (x)＝x2＋ex－xex.

（1）當(dāng)x∈[1，e] 時(shí)，求f (x)的最小值；

（2）當(dāng)a＜1時(shí)，若存在x1∈[e，e2]，使得對任意的x2∈[－2，0]，f (x1)＜g (x2)恒成立，求a的取值范圍．

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【題目】學(xué)校或班級舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳．現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128 dm2，上、下兩邊各空2 dm，左、右兩邊各空1 dm.如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空白面積最��？

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【題目】已知直線的參數(shù)方程為 (其中為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（其中）.

(1)若點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，且點(diǎn)在曲線內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)若,當(dāng)變化時(shí)，求直線被曲線截得的弦長的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）已知函數(shù)，且，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；

（2）若對任意的恒成立．試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若時(shí)，求函數(shù)在上的最小值．

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【題目】（本題滿分15分）如圖，在半徑為的半圓形（O為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中點(diǎn)A、B在直徑上，點(diǎn)C、D在圓周上，將所截得的矩形鐵皮ABCD卷成一個(gè)以AD為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計(jì)剪裁和拼接損耗），記圓柱形罐子的體積為．

（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：

①設(shè)，將表示為的函數(shù)；

②設(shè)（），將表示為的函數(shù)；

（2）請您選用（1）問中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，求圓柱形罐子的最大體積．

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