Question

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為(，0)．
(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；
(2)若直線(xiàn)l：y＝kx＋與雙曲線(xiàn)C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且·>2(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍．

Answer 1

（1）－y²＝1
（2）(－1，－)∪(，1)

(1)設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為－＝1(a>0，b>0)．
由已知得a＝，c＝2，再由c²＝a²＋b²得b²＝1，
所以雙曲線(xiàn)C的方程為－y²＝1．
(2)將y＝kx＋代入－y²＝1中，整理得(1－3k²)x²－6kx－9＝0，
由題意得
，
故k²≠且k²<1�、伲�
設(shè)A(x_A，y_A)，B(x_B，y_B)，則x_A＋x_B＝，x_Ax_B＝，
由·>2得x_Ax_B＋y_Ay_B>2，
x_Ax_B＋y_Ay_B＝x_Ax_B＋(kx_A＋)(kx_B＋)＝(k²＋1)x_Ax_B＋k(x_A＋x_B)＋2＝(k²＋1)·＋k·＋2＝，
于是>2，即>0，解得<k²<3�、冢�
由①②得<k²<1，
所以k的取值范圍為(－1，－)∪(，1)．