Question

【題目】已知四棱錐﹣中，底面ABCD是矩形，⊥平面，，是的中點，是線段上的點．

(1)當是的中點時，求證：∥平面．

(2)當：= 2：1時，求二面角﹣﹣的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

取PC中點G，連接FG,EG,推導四邊形AEGF是平行四邊形，從而可得AF∥EG，由此能證明∥平面;

以點A為原點，AB為軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法即可求出二面角﹣﹣的余弦值.

（1）取PC中點G，連結FG，EG，

∵四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，F(xiàn)是PD的中點，

E是線段AB的中點，

∴FGDC，AEDC，∴FGAE，

∴四邊形AEGF是平行四邊形，∴AF∥EG，

∵EG平面PEC，AF平面PEC，

∴AF∥平面PEC．

（2）解：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，

由題意得E（2，0，0），P（0，0，1），C（3，1，0），D（0，1，0），

=（3，1，﹣1），=（0，1，﹣1），=（2，0，﹣1），

設平面PCD的法向量=（x，y，z），

則，取y=1，得=（0，1，1），

設平面PCE的法向量=（a，b，c），

則，取a=1，

得=（1，﹣1，2），

設二面角E﹣PC﹣D的平面角為θ，

則cosθ===．

∴二面角E﹣PC﹣D的余弦值為．