Question

【題目】如圖，直角三角形ABC中，A=60°，沿斜邊AC上的高BD，將△ABD折起到△PBD的位置，點(diǎn)E在線段CD上．
（1）求證：PE⊥BD；
（2）過點(diǎn)D作DM⊥BC交BC于點(diǎn)M，點(diǎn)N為PB中點(diǎn)，若PE∥平面DMN，求 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BD是AC邊上的高，

∴BD⊥CD，BD⊥PD，

又PD∩CD=D，

∴BD⊥平面PCD，

又PE平面PCD中，

∴BD⊥PE，即PE⊥BD

（2）解：如圖所示，

連接BE，交DM與點(diǎn)F，

∵PE∥平面DMN，

∴PE∥NF，

又點(diǎn)N為PB中點(diǎn)，

∴點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)；

∴DF= BE=EF；

又∠BCD=90°﹣60°=30°，

∴△DEF是等邊三角形，

設(shè)DE=a，則BD= a，DC= BD=3a；

∴ = = ．

【解析】（1）由BD是AC邊上的高，得出BD⊥CD，BD⊥PD，由此證明BD⊥平面PCD，即可證明PE⊥BD；（2）連接BE，交DM與點(diǎn)F，由PE∥平面DMN，得出PE∥NF，證明△DEF是等邊三角形，再利用直角三角形的邊角關(guān)系求出 的值即可．
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面平行的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行．