已知雙曲線（其中）.
（1）若定點到雙曲線上的點的最近距離為，求的值；
（2）若過雙曲線的左焦點，作傾斜角為的直線交雙曲線于、兩點，其中，是雙曲線的右焦點.求△的面積.

(1)或；(2)．

解析試題分析：(1)本題涉及兩點間距離，因此我們設(shè)雙曲線上任一點為，這樣可表示出距離的平方，注意到雙曲線上的點滿足，故要對進行分類討論以求最小值；(2)設(shè)，，由于，因此，而可以用直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消去可得的一元二次方程，從這個方程可得，從而得三角形面積．
試題解析：（1）設(shè)點在雙曲線上，由題意得：。
由雙曲線的性質(zhì)，得。     1分
（i）若，則當(dāng)時，有最小值。最小值，所以。     3分
（ii）若，則當(dāng)時，有最小值，此時，解得。     6分
（2），，直線與軸垂直時，，此時，△的面積=.         7分
直線與軸不垂直時，直線方程為，         8分
設(shè)，
解法1：將代入雙曲線方程，整理得：，即
         10分
所以，         11分

=.     14分
解法2：將代入雙曲線方程，整理得：
，         10分
，，         11分

點到直線距離，
△的面積

=.     14分
考點：(1)定點到雙曲線上點的最短距離；(2)直線與雙曲線相交弦長及三角形面積．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知動點P與平面上兩定點連線的斜率的積為定值.
（1）試求動點P的軌跡方程C.
（2）設(shè)直線與曲線C交于M、N兩點，當(dāng)|MN|=時，求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：的離心率為，左、右焦點分別為，點G在橢圓C上，且，的面積為3.
（1）求橢圓C的方程：
（2）設(shè)橢圓的左、右頂點為A，B，過的直線與橢圓交于不同的兩點M，N（不同于點A，B），探索直線AM，BN的交點能否在一條垂直于軸的定直線上，若能，求出這條定直線的方程；若不能，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點為雙曲線的一個焦點，且兩條曲線都經(jīng)過點.
（1）求這兩條曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點在拋物線上，且它與雙曲線的左，右焦點構(gòu)成的三角形的面積為4，求點 的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知直線過點且與拋物線交于A、B兩點，以弦AB為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點O.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)是直線上任意一點，求證：直線QA、QM、QB的斜率依次成等差數(shù)列.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a>b>0)的兩個焦點F1，F2和上下兩個頂點B1，B2是一個邊長為2且∠F1B1F2為60°的菱形的四個頂點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過右焦點F2的斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于E、F兩點，A為橢圓的右頂點，直線AE，AF分別交直線x＝3于點M，N，線段MN的中點為P，記直線PF2的斜率為k′，求證： k·k′為定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，矩形ABCD中，|AB|＝2，|BC|＝2．E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點，分別以HF，EG所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知＝λ，＝λ，其中0＜λ＜1．

（1）求證：直線ER與GR′的交點M在橢圓Γ：＋y2＝1上；
（2）若點N是直線l：y＝x＋2上且不在坐標(biāo)軸上的任意一點，F(xiàn)1、F2分別為橢圓Γ的左、右焦點，直線NF1和NF2與橢圓Γ的交點分別為P、Q和S、T．是否存在點N，使得直線OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT滿足kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0？若存在，求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是軸的拋物線經(jīng)過點．
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線過定點，斜率為，當(dāng)為何值時，直線與拋物線有公共點?

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，拋物線E：y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點為A.點C在拋物線E上，以C為圓心，|CO|為半徑作圓，設(shè)圓C與準(zhǔn)線l交于不同的兩點M，N.
 
(1)若點C的縱坐標(biāo)為2，求|MN|；
(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圓C的半徑．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案