如圖,矩形ABCD中,|AB|=2,|BC|=2.E,F(xiàn),G,H分別是矩形四條邊的中點(diǎn),分別以HF,EG所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,已知=λ,=λ,其中0<λ<1.

(1)求證:直線ER與GR′的交點(diǎn)M在橢圓Γ:+y2=1上;
(2)若點(diǎn)N是直線l:y=x+2上且不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn),F(xiàn)1、F2分別為橢圓Γ的左、右焦點(diǎn),直線NF1和NF2與橢圓Γ的交點(diǎn)分別為P、Q和S、T.是否存在點(diǎn)N,使得直線OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT滿足kOP+kOQ+kOS+kOT=0?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

(1)見解析(2)滿足條件的點(diǎn)N存在,其坐標(biāo)為

解析試題分析:根據(jù)條件,可用參數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo),兩點(diǎn)式寫出直線的方程,并求出它們的交點(diǎn)的坐標(biāo),消去參數(shù)即可得證.(2)假設(shè)存在點(diǎn)在直線上,使,
設(shè), ,, , 直線的斜率為,直線的斜率為 ,可寫出兩直線的方程,并分別與橢圓方程聯(lián)立組成方程級(jí),利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合條件探究的關(guān)系,從而確定關(guān)于的方程的根的存在性,也就是點(diǎn)的存在性.
試題解析:(1)由已知,得F(,0),C(,1).
=λ=λ,得R(λ,0),R′(,1-λ).
又E(0,-1),G(0,1),則
直線ER的方程為y=x-1,      ①
直線GR′的方程為y=-x+1.     ②
由①②,得M(,).
+()2=1,
∴直線ER與GR′的交點(diǎn)M在橢圓Γ:+y2=1上.          5分
(2)假設(shè)滿足條件的點(diǎn)N(x0,y0)存在,則
直線NF1的方程為y=k1(x+1),其中k1,
直線NF2的方程為y=k2(x-1),其中k2
由消去y并化簡(jiǎn),得(2k12+1)x2+4k12x+2k12-2=0.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2
∵OP,OQ的斜率存在,∴x1≠0,x2≠0,∴k12≠1.
∴kOP+kOQ=2k1+k1·=k1(2-)=-
同理可得kOS+kOT=-
∴kOP+kOQ+kOS+kOT=-2()=-2·=-
∵kOP+kOQ+kOS+kOT=0,∴-=0,即(k1+k2)(k1k2-1)=0.
由點(diǎn)N不在坐標(biāo)軸上,知k1+k2≠0,
∴k1k2=1,即·=1.     ③
又y0=x0+2,                 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,左頂點(diǎn),離心率,為右焦點(diǎn),過焦點(diǎn)的直線交橢圓、兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)).
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)的面積時(shí),求直線PQ的方程;
(3)求的范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知雙曲線(其中).
(1)若定點(diǎn)到雙曲線上的點(diǎn)的最近距離為,求的值;
(2)若過雙曲線的左焦點(diǎn),作傾斜角為的直線交雙曲線于、兩點(diǎn),其中,是雙曲線的右焦點(diǎn).求△的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓的右焦點(diǎn)為F2(1,0),點(diǎn) 在橢圓上.

(1)求橢圓方程;
(2)點(diǎn)在圓上,M在第一象限,過M作圓的切線交橢圓于P、Q兩點(diǎn),問|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否為定值?如果是,求出定值,如不是,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知點(diǎn)、,動(dòng)點(diǎn)滿足:,且
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)已知圓W: 的切線與軌跡相交于P,Q兩點(diǎn),求證:以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)橢圓過點(diǎn),離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)求過點(diǎn)且斜率為的直線被橢圓所截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知中心在原點(diǎn)的橢圓C:的一個(gè)焦點(diǎn)為F1(0,3),M(x,4)(x>0)為橢圓C上一點(diǎn),△MOF1的面積為.
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 是否存在平行于OM的直線l,使得直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

求以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn),且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓上的點(diǎn)到其兩焦點(diǎn)距離之和為,且過點(diǎn)
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)為坐標(biāo)原點(diǎn),斜率為的直線過橢圓的右焦點(diǎn),且與橢圓交于點(diǎn),若,求△的面積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案