【題目】已知橢圓:,,分別是橢圓短軸的上下兩個(gè)端點(diǎn),是橢圓的左焦點(diǎn),P是橢圓上異于點(diǎn),的點(diǎn),若的邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.
寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
當(dāng)直線的一個(gè)方向向量是時(shí),求以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
設(shè)點(diǎn)R滿足:,,求證:與的面積之比為定值.
【答案】(1);(2);(3)證明見(jiàn)解析
【解析】
由是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形得,進(jìn)一步求得,則橢圓方程可求;
由直線的一個(gè)方向向量是,可得直線所在直線的斜率,得到直線的方程,由橢圓方程聯(lián)立,求得P點(diǎn)坐標(biāo),得到的中點(diǎn)坐標(biāo),再求出,可得以為直徑的圓的半徑,則以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求;
方法一、設(shè),求出直線的斜率,進(jìn)一步得到直線的斜率,得到直線的方程,同理求得直線的方程,聯(lián)立兩直線方程求得R的橫坐標(biāo),再結(jié)合在橢圓上可得與的關(guān)系,由求解;
方法二、設(shè)直線,的斜率為k,得直線的方程為結(jié)合,可得直線的方程為,把與橢圓方程聯(lián)立可得,再由在橢圓上,得到,從而得到,得結(jié)合,可得直線的方程為與線的方程聯(lián)立求得再由求解.
解:如圖,由的邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,得,且.
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
解:直線的一個(gè)方向向量是,
直線所在直線的斜率,則直線的方程為,
聯(lián)立,得,
解得,.
則的中點(diǎn)坐標(biāo)為,.
則以為直徑的圓的半徑.
以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
證明:方法一、設(shè),
直線的斜率為,由,得直線的斜率為.
于是直線的方程為:.
同理,的方程為:.
聯(lián)立兩直線方程,消去y,得.
在橢圓上,
,從而.
,
.
方法二、設(shè)直線,的斜率為k,,則直線的方程為.
由,直線的方程為,
將代入,得,
是橢圓上異于點(diǎn),的點(diǎn),,從而.
在橢圓上,
,從而.
,得.
,直線的方程為.
聯(lián)立,解得,即.
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,四邊形是矩形,,,平面平面.
(1)若點(diǎn)是的中點(diǎn),求證:平面;
(2)求證:平面平面;
(3)若,求直線與平面成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知奇函數(shù)
(1)求b的值,并求出函數(shù)的定義域
(2)若存在區(qū)間,使得時(shí),的取值范圍為,求的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某班隨機(jī)抽查了名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī),分?jǐn)?shù)制成如圖的莖葉圖,其中組學(xué)生每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間不足個(gè)小時(shí),組學(xué)生每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間達(dá)到一個(gè)小時(shí),學(xué)校規(guī)定分及分以上記為優(yōu)秀,分及分以上記為達(dá)標(biāo),分以下記為未達(dá)標(biāo).
(1)根據(jù)莖葉圖完成下面的列聯(lián)表:
達(dá)標(biāo) | 未達(dá)標(biāo) | 總計(jì) | |
組 | |||
組 | |||
總計(jì) |
(2)判斷是否有的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)標(biāo)與否”與“每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間能否達(dá)到一小時(shí)”有關(guān).
參考公式與臨界值表:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】過(guò)年時(shí)小明的舅舅在家庭微信群里發(fā)了一個(gè)10元的紅包,紅包被隨機(jī)分配為2.51元,3.32元,1.24元,0.26元,2.67元,共五份.現(xiàn)已知小明與爸爸都各自搶到了一個(gè)紅包,則兩人搶到紅包的金額總和不小于4元的概率為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為鼓勵(lì)家校互動(dòng),與某手機(jī)通訊商合作,為教師辦理流量套餐.為了解該校教師手機(jī)流量使用情況,通過(guò)抽樣,得到位教師近年每人手機(jī)月平均使用流量(單位:)的數(shù)據(jù),其頻率分布直方圖如下:
若將每位教師的手機(jī)月平均使用流量分別視為其手機(jī)月使用流量,并將頻率為概率,回答以下問(wèn)題.
(Ⅰ) 從該校教師中隨機(jī)抽取人,求這人中至多有人月使用流量不超過(guò) 的概率;
(Ⅱ) 現(xiàn)該通訊商推出三款流量套餐,詳情如下:
套餐名稱(chēng) | 月套餐費(fèi)(單位:元) | 月套餐流量(單位:) |
這三款套餐都有如下附加條款:套餐費(fèi)月初一次性收取,手機(jī)使用一旦超出套餐流量,系統(tǒng)就自動(dòng)幫用戶(hù)充值 流量,資費(fèi)元;如果又超出充值流量,系統(tǒng)就再次自動(dòng)幫用戶(hù)充值 流量,資費(fèi)元/次,依次類(lèi)推,如果當(dāng)月流量有剩余,系統(tǒng)將自動(dòng)清零,無(wú)法轉(zhuǎn)入次月使用.
學(xué)校欲訂購(gòu)其中一款流量套餐,為教師支付月套餐費(fèi),并承擔(dān)系統(tǒng)自動(dòng)充值的流量資費(fèi)的,其余部分由教師個(gè)人承擔(dān),問(wèn)學(xué)校訂購(gòu)哪一款套餐最經(jīng)濟(jì)?說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“割圓術(shù)”是劉徽最突出的數(shù)學(xué)成就之一,他在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù),并作為計(jì)算圓的周長(zhǎng),面積已經(jīng)圓周率的基礎(chǔ),劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形,并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個(gè)近似數(shù)值,這個(gè)結(jié)果是當(dāng)時(shí)世界上圓周率計(jì)算的最精確數(shù)據(jù).如圖,當(dāng)分割到圓內(nèi)接正六邊形時(shí),某同學(xué)利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法向圓內(nèi)隨機(jī)投擲點(diǎn),計(jì)算得出該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的頻率為0.8269,那么通過(guò)該實(shí)驗(yàn)計(jì)算出來(lái)的圓周率近似值為(參考數(shù)據(jù):)
A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),且在點(diǎn)處的切線與直線平行.
(1)求實(shí)數(shù),的值;
(2)若對(duì)任意的,函數(shù)在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一商家誠(chéng)邀甲、乙兩名圍棋高手進(jìn)行一場(chǎng)網(wǎng)絡(luò)國(guó)棋比賽,每比賽一局商家要向每名棋手支付2000元對(duì)局費(fèi),同時(shí)商家每局從轉(zhuǎn)讓網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)播權(quán)及廣告宣傳中獲利12100元,從兩名棋手以往比賽中得知,甲每局獲勝的概率為,乙每局獲勝的概率為,兩名棋手約定:最多下五局,先連勝兩局者獲勝,比賽結(jié)束,比賽結(jié)束后,商家為獲勝者頒發(fā)5000元的獎(jiǎng)金,若沒(méi)有決出獲勝者則各頒發(fā)2500元.
(1)求下完五局且甲獲勝的概率是多少;
(2)求商家從這場(chǎng)網(wǎng)絡(luò)棋賽中獲得的收益的數(shù)學(xué)期望是多少.
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