Question

【題目】過拋物線E:x2=2py(p>0) 的焦點F作斜率分別為 k1,k2 的兩條不同的直線 l1,l2 ，且k1+k2=2 ，l1與E 相交于點A，B， l2與E 相交于點C，D.以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在的直線記為 l .
（1）若k1>0,k2>0 ，證明；；
（2）若點M到直線 l 的距離的最小值為 ，求拋物線E的方程.

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】由題意，拋物線E的焦點為 ，直線 l1 的方程為 .

由 ，得 x2-2pk1x-p2=0 ，設(shè)A,B兩點坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)，

則 x1,x2 是上述方程的兩個實數(shù)根，從而x1+x2 =2pk1, ，y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk12+p ，所以點M的坐標(biāo)為 ， ，同理可得點N的坐標(biāo)為 ， ，于是

，由題設(shè)， k1+k2=2 ，k1>0,k2>0, ，

所以 ，故

（2）

【解答】由拋物線的定義得 ， ，

所以|AB|=y1+y2+p=2pk12+2p ，從而圓M的半徑r1=pk12+p ，故圓M的方程為 ，

化簡得

同理可得圓N的方程為 .于是圓M,圓N的公共弦所在直線l的方程為 ，又 ， ，則 的方程為 ，因為 p>0 ，所以點M到直線l的距離 ，故當(dāng) 時， d 取最小值 ，由題設(shè)， ，解得 p=8 ，故所求拋物線E的方程為x2=16y .

【解析】(1)先寫出過拋物線焦點的直線方程,然后和拋物線方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系以及向量的坐標(biāo)運算可得到結(jié)果.(2)利用拋物線的焦點弦長公式求出|AB|,此即圓M的直徑,進(jìn)而可求出圓M的方程,同理可求出圓N的方程,再把兩圓的方程相減即得兩圓公共弦所在直線 方程,于是代入條件即可求解.