【題目】已知二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次函數(shù)

當(dāng),時(shí),求方程的實(shí)根;

設(shè)bc都是整數(shù),若有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,并且在數(shù)軸上四個(gè)根等距排列,試求二次函數(shù)的解析式,使得其所有項(xiàng)的系數(shù)和最。

【答案】(1),,,;(2)

【解析】

由題意可得,設(shè),則,求得t,進(jìn)而得到x的值;

,即為,由題意不妨設(shè)四個(gè)根分別為,,,可得四個(gè)根的和為,即;再由韋達(dá)定理,消去d,可得b,c的方程,結(jié)合b,c為正整數(shù)和取得最小值,化簡(jiǎn)運(yùn)算和推理可得bc的最小值,即可得到所求解析式.

當(dāng),時(shí),,

設(shè),則,

,解得,

當(dāng)時(shí),,解得;

當(dāng)時(shí),,解得:,

綜上所述:的實(shí)根有:,,,

,即為

即有,

,

可得,或,

不妨設(shè)四個(gè)根分別為,,

可得四個(gè)根的和為,即;

又設(shè),

消去d,可得

可得,

b,c為整數(shù),可得也為正整數(shù)的平方,

設(shè),k為正整數(shù),

即有,即為,

為正整數(shù)的平方,且,

取得最小值,

可得b的最小值為22,,

,其所有項(xiàng)的系數(shù)和最。

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