Question

（2013•內(nèi)江一模）設(shè)函數(shù)f（x）=|x|x+bx+c，則下列命題中正確命題的序號有

（2）（3）

．
（1）函數(shù)f（x）在R上有最小值；
（2）當b＞0時，函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)；
（3）函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（0，c）對稱；
（4）方程f（x）=0可能有四個不同實數(shù)根．

Answer 1

分析：（1）當b＜0時，可以根據(jù)函數(shù)的值域加以判斷函數(shù)f（x）在R上是否有最小值；
（2）當b＞0時，把函數(shù)f（x）=|x|x+bx+c分x≥0和x＜0兩種情況討論，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求單調(diào)性；
（3）函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（0，c）對稱，可以根據(jù)函數(shù)圖象的平移解決；
（4）根據(jù)f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c  ，x≥0 -x2+bx+c，x＜0

的每一段分段函數(shù)的圖象都是一個二次函數(shù)的部分圖象，且它們有一個公共點（0，c），結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得結(jié)果．

解答：解：（1）當b＜0時，f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c  ，x≥0 -x2+bx+c，x＜0

值域是R，故函數(shù)f（x）在R上沒有最小值；
（2）當b＞0時，f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c  ，x≥0 -x2+bx+c，x＜0

，知函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)；
（3）若f（x）=|x|x+bx那么函數(shù)f（x）是奇函數(shù)（f（-x）=-f（x）），也就是說函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（0，0）對稱．而函數(shù)f（x）=|x|x+bx+c的圖象是由函數(shù)f（x）=|x|x+bx的圖象沿Y軸移動，故圖象一定是關(guān)于（0，c）對稱的．
（4）f（x）=|x|x+bx+c=

x2+bx+c  ，x≥0 -x2+bx+c，x＜0

的每一段分段函數(shù)的圖象都是一個二次函數(shù)的部分圖象，且它們有一個公共點（0，c），由圖角可得解得方程f（x）=0最多有三個不同的實根，不可能有四個不同實數(shù)根．所以（4）不正確．
故答案為：（2）（3）．

點評：本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性、對稱性和最值問題，對于含有絕對值的一類問題，通常采取去絕對值的方法解決，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想；函數(shù)的對稱性問題一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的奇偶性加以分析，再根據(jù)函數(shù)圖象的平移解決，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、運動的數(shù)學思想；對于存在性的命題研究，一般通過特殊值法來解決．