Question

【題目】如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點M為棱AB的中點，AB=2，AD=，∠BAD=90°．

（Ⅰ）求證：AD⊥BC；

（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) ；(Ⅲ) ．

【解析】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性質(zhì)定理可得AD⊥平面ABC，則AD⊥BC．

（Ⅱ）取棱AC的中點N，連接MN，ND．由幾何關系可知∠DMN（或其補角）為異面直線BC與MD所成的角．計算可得．則異面直線BC與MD所成角的余弦值為．

（Ⅲ）連接CM．由題意可知CM⊥平面ABD．則∠CDM為直線CD與平面ABD所成的角．計算可得．即直線CD與平面ABD所成角的正弦值為．

詳解：（Ⅰ）證明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．

（Ⅱ）取棱AC的中點N，連接MN，ND．又因為M為棱AB的中點，故MN∥BC．所以∠DMN（或其補角）為異面直線BC與MD所成的角．

在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因為AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．

在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．

在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．

所以，異面直線BC與MD所成角的余弦值為．

（Ⅲ）連接CM．因為△ABC為等邊三角形，M為邊AB的中點，故CM⊥AB，CM=．又因為平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM為直線CD與平面ABD所成的角．

在Rt△CAD中，CD==4．

在Rt△CMD中， ．

所以，直線CD與平面ABD所成角的正弦值為．