【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，

（1）求證：；

（2）在線段上，是否存在一點，使得二面角的大小為，如果存在，求與平面所成的角的正弦值，如果不存在，請說明理由．

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.

【解析】

（1）利用直角梯形的性質(zhì)求出，的長，根據(jù)勾股定理的逆定理得出，由平面得出，故平面，于是；

（2）假設存在點，做出二面角的平面角，根據(jù)勾股定理求出到平面的距離從而確定的位置，利用棱錐的體積求出到平面的距離，根據(jù)勾股定理計算，則即為所求角的正弦值．

解：（1）如圖，由已知得四邊形ABCD是直角梯形，

由已知，

可得是等腰直角三角形，即，

又平面ABCD，則，

所以平面PAC，

所以．

（2）假設存在符合條件的點，過點作于，則，

平面，．

過點作于，連接，則平面，

，即是二面角的平面角．

若，則，又，

，即是線段的中點．

存在點使得二面角的大小為．

在三棱錐中，，

設點到平面的距離是，則，

，，

，解得．

在中，，，，，

，

與平面所成角的正弦值為．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.

（1）求的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

（2）求曲線C上的點到距離的最大值及該點坐標.

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【題目】已知橢圓：的兩個焦點分別是，直線：與橢圓交于兩點.

（1）若為橢圓短軸上的一個頂點，且是直角三角形，求的值；

（2）若，且，求證：的面積為定值.

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【題目】BMI指數(shù)（身體質(zhì)量指數(shù)，英文為BodyMassIndex，簡稱BMI）是衡量人體胖瘦程度的一個標準，BMI=體重（kg）/身高（m）的平方.根據(jù)中國肥胖問題工作組標準，當BMI≥28時為肥胖.某地區(qū)隨機調(diào)查了1200名35歲以上成人的身體健康狀況，其中有200名高血壓患者，被調(diào)查者的頻率分布直方圖如下：

（1）求被調(diào)查者中肥胖人群的BMI平均值；

（2）填寫下面列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認為35歲以上成人患高血壓與肥胖有關(guān).

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

肥胖

不肥胖

合計

高血壓

非高血壓

合計

附：，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】正四棱錐的底面正方形邊長是3，是在底面上的射影，，是上的一點，過且與、都平行的截面為五邊形．

（1）在圖中作出截面，并寫出作圖過程；

（2）求該截面面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，斜率為的直線交拋物線于，兩點，當直線過點時，以為直徑的圓與直線相切．

（1）求拋物線的方程；

（2）與平行的直線交拋物線于，兩點，若平行線，之間的距離為，且的面積是面積的倍（O為坐標原點），求和的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】PM2.5是空氣質(zhì)量的一個重要指標，我國PM2.5標準采用世衛(wèi)組織設定的最寬限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空氣質(zhì)量為一級，在35μg/m3～75μg/m3之間空氣質(zhì)量為二級，在75μg/m3以上空氣質(zhì)量為超標.如圖是某市2019年12月1日到10日PM2.5日均值（單位：μg/m3）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，則下列敘述不正確的是（ ）

A.這10天中，12月5日的空氣質(zhì)量超標

B.這10天中有5天空氣質(zhì)量為二級

C.從5日到10日，PM2.5日均值逐漸降低

D.這10天的PM2.5日均值的中位數(shù)是47

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】指數(shù)是用體重公斤數(shù)除以身高米數(shù)的平方得出的數(shù)字，是國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個標準．對于高中男體育特長生而言，當數(shù)值大于或等于20.5時，我們說體重較重，當數(shù)值小于20.5時，我們說體重較輕，身高大于或等于我們說身高較高，身高小于170cm我們說身高較矮．

（Ⅰ）已知某高中共有32名男體育特長生，其身高與指數(shù)的數(shù)據(jù)如散點圖，請根據(jù)所得信息，完成下述列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為男生的身高對指數(shù)有影響．

身高較矮

身高較高

合計

體重較輕

體重較重

合計

（Ⅱ）①從上述32名男體育特長生中隨機選取8名，其身高和體重的數(shù)據(jù)如表所示：

編號

1

2

3

4

5

6

7

8

身高

166

167

160

173

178

169

158

173

體重

57

58

53

61

66

57

50

66

根據(jù)最小二乘法的思想與公式求得線性回歸方程為．利用已經(jīng)求得的線性回歸方程，請完善下列殘差表，并求（解釋變量（身高）對于預報變量（體重）變化的貢獻值）（保留兩位有效數(shù)字）；

編號

1

2

3

4

5

6

7

8

體重（kg）

57

58

53

61

66

57

50

66

殘差

②通過殘差分析，對于殘差的最大（絕對值）的那組數(shù)據(jù)，需要確認在樣本點的采集中是否有人為的錯誤，已知通過重新采集發(fā)現(xiàn)，該組數(shù)據(jù)的體重應該為．小明重新根據(jù)最小二乘法的思想與公式，已算出，請在小明所算的基礎上求出男體育特長生的身高與體重的線性回歸方程．

參考數(shù)據(jù)：

，，，，

參考公式：，，，，．

0.10

0.05

0.01

0.005

2.706

3.811

6.635

7.879

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】石雕工藝承載著幾千年的中國石雕文化，隨著科技的發(fā)展，機器雕刻產(chǎn)品越來越多．某石雕廠計劃利用一個圓柱形的石材（如圖1）雕刻制作一件工藝品（如圖2），該作品的上方是一個球體，下方是一個正四棱柱，經(jīng)測量，圓柱形石材的底面半徑米，高米，制作要求如下：首先需將石材切割為體積相等的兩部分（分別稱為圓柱A和圓柱B），要求切面與原石材的上、下底面平行（不考慮損耗），然后將圓柱A切割打磨為一個球體，將圓柱B切割打磨為一個長方體，則加工打磨后所得工藝品的體積的最大值為________立方米.

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