Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+ ，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2．
（I）求a、b的值；
（Ⅱ）當(dāng)x＞1時，不等式f（x）＞ 恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）∵函數(shù)f（x）=alnx+ 的導(dǎo)數(shù)為f′（x）= ﹣ ，且直線y=2的斜率為0，又過點（1，2），
∴f（1）=2b=2，f′（1）=a﹣b=0，
解得a=b=1
（II）當(dāng)x＞1時，不等式f（x）＞ ，即為（x﹣1）lnx+ ＞（x﹣k）lnx，
即（k﹣1）lnx+ ＞0
令g（x）=（k﹣1）lnx+ ，g′（x）= +1+ = ，
令m（x）=x2+（k﹣1）x+1，
①當(dāng) ≤1即k≥﹣1時，m（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增且m（1）≥0，
所以當(dāng)x＞1時，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，
則g（x）＞g（1）=0即f（x）＞ 恒成立．
②當(dāng) ＞1即k＜﹣1時，m（x）在上（1， ）上單調(diào)遞減，
且m（1）＜0，故當(dāng)x∈（1， ）時，m（x）＜0即g′（x）＜0，
所以函數(shù)g（x）在（1， ）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1， ）時，g（x）＜0與題設(shè)矛盾，
綜上可得k的取值范圍為[﹣1，+∞）
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得f（1）=2b=2，f′（1）=a﹣b=0，解方程可得a，b；（Ⅱ）當(dāng)x＞1時，不等式f（x）＞ ，即為（x﹣1）lnx+ ＞（x﹣k）lnx，即（k﹣1）lnx+ ＞0，令g（x）=（k﹣1）lnx+ ，求出導(dǎo)數(shù)，令m（x）=x2+（k﹣1）x+1，討論①當(dāng) ≤1即k≥﹣1時，②當(dāng) ＞1即k＜﹣1時，求出單調(diào)性，即可得到k的范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．