Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無(wú)單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（2）1個(gè).

【解析】

（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，通過(guò)求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出的極小值，從而求出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即和的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無(wú)單調(diào)減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，無(wú)單調(diào)減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.

（2）令 ，，問(wèn)題等價(jià)于求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，，有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，注意到，，所以有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，由得或，由得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，注意到，

，

所以有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，由得，或，

由得，

所以函數(shù)在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，

所以，

而，所以有唯一零點(diǎn).

綜上，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)函數(shù)與圖象總有一個(gè)交點(diǎn).