Question

【題目】已知動點(diǎn)M到定點(diǎn)F1(－2,0)和F2(2,0)的距離之和為.

（1）求動點(diǎn)M的軌跡C的方程；

（2）設(shè)N(0,2)，過點(diǎn)P(－1，－2)作直線l，交曲線C于不同于N的兩點(diǎn)A，B，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，求k1＋k2的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4

【解析】

本題考查橢圓的基本量間的關(guān)系及韋達(dá)定理的應(yīng)用

（1）考查橢圓的基本量間的關(guān)系

（2）是直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，先設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，本題的突破口是在消參后的方程中找出兩根之和、兩根之積，整理斜率的表達(dá)式，在本問中需考慮直線的斜率是否存在

解：(1)由橢圓的定義，可知點(diǎn)M的軌跡是以F1，F2為焦點(diǎn)，為長軸長的橢圓．

由c＝2，a＝2 ，得b＝2.

故動點(diǎn)M的軌跡C的方程為.

(2)當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y＋2＝k(x＋1)，

由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.

Δ＝[4k(k－2)]2－4(1＋2k2)(2k2－8k)>0，則k>0或k<－

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ， .

從而

當(dāng)直線l的斜率不存在時，得

所以k1＋k2＝4.

綜上，恒有k1＋k2＝4.