Question

【題目】已知定義域為的函數(shù)在上有最大值1，設 ．

（1）求的值；

（2）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)有三個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍（為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）；（3）

【解析】

（1）結合二次函數(shù)的性質 可判斷g（x）在[1，2]上的單調性，結合已知函數(shù)的最大值可求m；（2）由（1）可知f（x），由原不等式可知2k1在x∈[3，9]上恒成立，結合對數(shù)與二次函數(shù)的性質可求；（3）原方程可化為|ex﹣1|2﹣（3k+2）|ex﹣1|+（2k+1）＝0，利用換元q＝|ex﹣1|，結合二次函數(shù)的 實根分布即可求解．

（1）因為在上是增函數(shù)，

所以，解得．

（2）由（1）可得：

所以不等式在上恒成立．

等價于在上恒成立

令，因為，所以

則有在恒成立

令，，則

所以，即，所以實數(shù)的取值范圍為．

（3）因為

令，由題意可知

令，

則函數(shù)有三個不同的零點

等價于在有兩個零點，

當 ，此時方程，此時關于方程有三個零點，符合題意；

當 記為，，且，，

所以，解得

綜上實數(shù)的取值范圍 ．