Question

【題目】記[x]為不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，例如，[2]=2，[1.5]=1，[﹣0.3]=﹣1．設(shè)a為正整數(shù)，數(shù)列{xn}滿足x1=a， ，現(xiàn)有下列命題：
①當(dāng)a=5時(shí)，數(shù)列{xn}的前3項(xiàng)依次為5，3，2；
②對(duì)數(shù)列{xn}都存在正整數(shù)k，當(dāng)n≥k時(shí)總有xn=xk；
③當(dāng)n≥1時(shí)， ；
④對(duì)某個(gè)正整數(shù)k，若xk+1≥xk ， 則 ．
其中的真命題有 ． （寫出所有真命題的編號(hào)）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：①當(dāng)a=5時(shí)，x1=5，
，
，
∴①正確．
②當(dāng)a=8時(shí)，x1=8，




∴此數(shù)列從第三項(xiàng)開始為3，2，3，2，3，2…為擺動(dòng)數(shù)列，故②錯(cuò)誤；
③當(dāng)n=1時(shí)，x1=a，∵a﹣（ ）= ＞0，∴x1=a＞ 成立，
假設(shè)n=k時(shí)， ，
則n=k+1時(shí)， ，
∵ ≥ ≥ = （當(dāng)且僅當(dāng)xk= 時(shí)等號(hào)成立），
∴ ＞ ，
∴對(duì)任意正整數(shù)n，當(dāng)n≥1時(shí)， ；③正確；
④ ≥xk ，
由數(shù)列①②規(guī)律可知 一定成立
故正確答案為①③④
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解命題的真假判斷與應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)，掌握兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．