【題目】已知橢圓M: =1(a>b>0)的離心率為 ,左焦點F1到直線 的距離為3,圓N的方程為(x﹣c)2+y2=a2+c2(c為半焦距),直線l:y=kx+m(k>0)與橢圓M和圓N均只有一個公共點,分別設(shè)為A,B.
(1)求橢圓M的方程和直線l的方程;
(2)在圓N上是否存在點P,使 ,若存在,求出P點坐標,若不存在,說明理由.
【答案】
(1)解:∵橢圓M: =1(a>b>0)的離心率為 ,左焦點F1到直線 的距離為3,
∴由題意知 ,解得a=2,c=1.
∴b= = ,
∴橢圓M的方程為 + =1,
圓N的方程為(x﹣1)2+y2=5,
∵直線l:y=kx+m(k>0)與橢圓M只有一個公共點,
∴由 ,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,①
∴△=64k2m2﹣4(3+4k2)(4m2﹣12)=0,
整理得m2=3+4k2,②
由直線l:y=kx+m與N只有一個公共點,得 = ,即k2+2km+m2=5+5k2,③
將②代入③得km=1,④由②④得k= ,m=2.
∴直線l:y= x+2.
(2)將k= ,m=2代入①可得A(﹣1, ),
又過切點B的半徑所在的直線l′:y=﹣2x+2,
與直線l的方程聯(lián)立得B(0,2),
設(shè)P(x0,y0),由 =2 ,得 ,
化簡得7 +7 +16x0﹣20y0+22=0,⑤
又P(x0,y0)滿足 =4,⑥
將⑤﹣7×⑥并整理得3x0﹣2y0+5=0,
即y0= ,⑦
將⑦代入⑥并整理得13 +22x0+9=0,
解得x0=﹣1或x0=﹣ ,
所以存在P(﹣1,1)或P(﹣ , )滿足條件.
【解析】(1)由橢圓的離心率為 ,左焦點F1到直線 的距離為3,列出方程組,求出a,b,由此能求出橢圓M的方程;由 ,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,由此利用根的判別式、點到直線距離公式能求出直線l的方程.(2)將k= ,m=2代入,得A(﹣1, ),過切點B的半徑所在的直線l′:y=﹣2x+2,與直線l的方程聯(lián)立得B(0,2),設(shè)P(x0,y0),由 =2 ,得7 +7 +16x0﹣20y0+22=0,再由P(x0,y0)滿足 =4,能求出存在P(﹣1,1)或P(﹣ , )滿足條件.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值4.
(I)求實數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)當a>0時,求曲線y=f(x)在點(﹣2,f(﹣2))處的切線方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點A,B分別為橢圓E: 的左,右頂點,點P(0,﹣2),直線BP交E于點Q, 且△ABP是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點P的動直線l與E相交于M,N兩點,當坐標原點O位于以MN為直徑的圓外時,求直線l斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|2x﹣1|,x∈R.
(1)若不等式f(x)≤a的解集為{x|0≤x≤1},求a的值;
(2)若g(x)= 的定義域為R,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】四棱錐P﹣ABCD底面是一個棱長為2的菱形,且∠DAB=60°,各側(cè)面和底面所成角均為60°,則此棱錐內(nèi)切球體積為 .
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科目:
來源: 題型:【題目】在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點為圓心且與直線mx﹣y﹣2m+1=0(m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標準方程為( )
A.x2+y2=5
B.x2+y2=3
C.x2+y2=9
D.x2+y2=7
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是等腰梯形,AD∥BC,BC=2AD,O為BD的中點.
(1)求證:CD∥平面POA;
(2)若PO⊥底面ABCD,CD⊥PB,AD=PO=2,求二面角A﹣PD﹣B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓A:(x+1)2+y2=16,圓C過點B(1,0)且與圓A相切,設(shè)圓心C的軌跡為曲線E.
(Ⅰ)求曲線E的方程;
(Ⅱ)過點B作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與E交于M,N兩點,直線l2與圓A交于P,Q兩點,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直角梯形ABCD中, 是邊長為2的等邊三角形,AB=5.沿CE將 折起,使B至 處,且 ;然后再將 沿DE折起,使A至 處,且面 面CDE, 和 在面CDE的同側(cè).
(Ⅰ) 求證: 平面CDE;
(Ⅱ) 求平面 與平面CDE所構(gòu)成的銳二面角的余弦值.
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