【題目】已知函數(shù),

I)討論上的單調(diào)性;

(Ⅱ)若對任意的正整數(shù)n都有成立,求a的取值范圍.

【答案】I)當(dāng)時,上遞減.當(dāng)時,上遞減,在上遞增.當(dāng)時,上遞增.II

【解析】

I)求得的導(dǎo)函數(shù),對分成等四種情況,討論的單調(diào)性.

II)將不等式轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造,利用的導(dǎo)函數(shù),結(jié)合(I)的結(jié)論,求得的取值范圍.

I)依題意

當(dāng)時,,所以上遞減.

當(dāng)時,令解得.

當(dāng)時,,所以上遞減,在上遞增.

當(dāng)時,,上遞增.

當(dāng)時,,所以上遞增.

綜上所述,當(dāng)時,上遞減.當(dāng)時,上遞減,在上遞增.當(dāng)時,上遞增.

II)不等式兩邊取以為底的對數(shù),可轉(zhuǎn)化為,令,故要對任意的正整數(shù)n都有成立,只需對任意,有..

由(I)知:

當(dāng)時,上遞增,所以,符合題意.

當(dāng)時,上遞減,,不符合題意.

當(dāng)時,上遞減,所以當(dāng)時,,不符合題意.

當(dāng)時,上遞減,,不符合題意.

綜上所述,的取值范圍是.

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