設(shè)函數(shù)對(duì)任意,都有,當(dāng)時(shí), 
(1)求證:是奇函數(shù);
(2)試問(wèn):在時(shí) ,是否有最大值?如果有,求出最大值,如果沒(méi)有,說(shuō)明理由.
(3)解關(guān)于x的不等式

(1)詳見(jiàn)解析;(2)函數(shù)最大值為;(3)①,則解為;②,則解為;③,則無(wú)解.

解析試題分析:(1)要證明為奇函數(shù),需要證明.如何利用所給條件變出這樣一個(gè)等式來(lái)?
為了產(chǎn)生,令,則.這時(shí)的等于0嗎?如何求?再設(shè)可得,從而問(wèn)題得證.
(2)一個(gè)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必最大值的最小值.為了求函數(shù)的最值,就需要研究函數(shù)的單調(diào)性.研究單調(diào)性,第一,根據(jù)定義,第二利用導(dǎo)數(shù).抽象函數(shù)研究單調(diào)性只能用定義.任取,則,根據(jù)條件可得:
所以為減函數(shù),那么函數(shù)在上的最大值為.
(3)有關(guān)抽象函數(shù)的不等式,都是利用單調(diào)性去掉.首先要將不等式化為,注意必須是左右各一項(xiàng).在本題中,由題設(shè)可得,在R上為減函數(shù)
,即.下面就解這個(gè)不等式.這個(gè)不等式中含有參數(shù),故需要分情況討論.
試題解析:(1)設(shè)可得,設(shè),則
所以為奇函數(shù).
(2)任取,則,又
所以
所以為減函數(shù)。
那么函數(shù)最大值為,
所以函數(shù)最大值為.
(3)由題設(shè)可知

可化為
,在R上為減函數(shù)
,即,
,則解為
,則解為
,則無(wú)解
考點(diǎn):1、抽象函數(shù);2、函數(shù)的性質(zhì);3、解不等式.

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知函數(shù).
(1)若的定義域和值域均是,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若在區(qū)間上是減函數(shù),且對(duì)任意的,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若,且對(duì)任意的,都存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R
(Ⅰ)解不等式f(x)≤5;
(Ⅱ)若的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

提高過(guò)江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/小時(shí))是車流密度(單位:輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí),造成堵塞,此時(shí)車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí),車流速度為60千米/小時(shí),研究表明:當(dāng)時(shí),車流速度是車流密度x的一次函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)車流密度為多大時(shí),車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/每小時(shí))可以達(dá)到最大,并求出最大值(精確到1輛/小時(shí))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),指出的單調(diào)遞減區(qū)間和奇偶性(不需說(shuō)明理由);
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的零點(diǎn);
(3)若對(duì)任何不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知函數(shù),且(1)判斷函數(shù)的奇偶性;(2)判斷上的單調(diào)性并加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知在區(qū)間上是增函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值組成的集合;
(2)設(shè)關(guān)于的方程的兩個(gè)非零實(shí)根為、.試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù),使得不等式對(duì)任意 恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

上最大值是5,最小值是2,若,在上是單調(diào)函數(shù),求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)是定義在[-3,3]上的奇函數(shù),且當(dāng)x∈[0,3]時(shí),f(x)=x|x-2|

⑴在平面直角坐標(biāo)系中,畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象
⑵根據(jù)圖象,寫(xiě)出f(x)的單調(diào)增區(qū)間,同時(shí)寫(xiě)出函數(shù)的值域.

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