Question

已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，指出的單調(diào)遞減區(qū)間和奇偶性（不需說明理由）；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；
（3）若對(duì)任何不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

Answer 1

（1）遞減區(qū)間為，函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；（2）或；（3）．

解析試題分析：（1）時(shí)，作出函數(shù)的圖象，如下圖，即可得出結(jié)論．

（2）實(shí)際上就是解方程，只不過在解題時(shí)，首先要分類討論（分和），其次還要注意的是，否則會(huì)得出錯(cuò)誤結(jié)果；本題也可由求出方程的正的零點(diǎn)（這可利用（1）的結(jié)論很快解決），然后令等于這些值，就可求出；（3）不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問題，一般把問題轉(zhuǎn)化如轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域（或最值）或者利用不等式的性質(zhì)，本題參數(shù)可以分離，在時(shí)，不論取何值，不等式都成立，在時(shí)，可轉(zhuǎn)化為，即，下面只要求出的最大值和的最小值．
試題解析：1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（2分）
函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)（4分）
（2）當(dāng)，（1分）
由得  （2分）
即（4分）
解得  (5分)
所以或  （6分）
（3）當(dāng)時(shí)，取任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，
故只需考慮，此時(shí)原不等式變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5b/b/dfg62.png" style="vertical-align:middle;" /> （1分）
即
故   （2分）
又函數(shù)在上單調(diào)遞增， （3分）
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（4分）
；（5分）
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是 （6分）
考點(diǎn)：（1）函數(shù)單調(diào)區(qū)間與奇偶性；（2）解超越方程；（3）不等式恒成立問題．