【題目】如圖，已知四棱錐中，底面是矩形，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取，的中點，，連接，，，利用等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，結(jié)合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理進行證明即可；

（2）解法一：利用線面垂直的判定定理、平行線的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐體積公式進行求解即可；

解法二：建立空間直角坐標系，利用兩點間距離公式結(jié)合已知求出點的坐標，最后利用空間向量夾角公式進行求解即可.

解：（1）如圖，取，的中點，，連接，，，

因為，，

所以，，，

又，

所以，，

又因為，所以，

所以，即，

平面，

所以平面，而平面，

所以平面平面；

（2）解法一：設(shè)到平面的距離為，

因為，，

所以，

由（1），，又，所以，

平面，

所以平面，因為，所以點到平面的距離為，

所以，

所以，

故直線與平面所成角的正弦值為.

解法二：建系法

如圖，建立空間坐標系，則，，，，

設(shè)，由，得

即，設(shè)平面的法向量為，

因為，，

所以，令，可得，

于是.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5(單位：)表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這個值越高，就代表空氣污染越嚴重：

PM2.5

日均濃度

0~35

35~75

75~115

115~150

150~250

空氣質(zhì)量級別

一級

二級

三級

四級

五級

六級

空氣質(zhì)量類型

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴重污染

甲乙兩城市2020年5月份中的15天對空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5進行監(jiān)測，獲得PM2.5日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示：

（1）根據(jù)你所學的統(tǒng)計知識估計甲乙兩城市15天內(nèi)哪個城市空氣質(zhì)量總體較好？并簡要說明理由.

（2）在15天內(nèi)任取1天，估計甲乙兩城市空氣質(zhì)量類別均為優(yōu)或良的概率；

（3）在乙城市15個監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取2個，設(shè)為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.

B.若把函數(shù)的圖像向左平移個單位，則所得函數(shù)是奇函數(shù)

C.若把的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)在上是增函數(shù)

D.，若恒成立，則的最小值為

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，.

（Ⅰ）證明：當時，；

（Ⅱ）若曲線過點的切線有兩條，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】年，某省將實施新高考，年秋季入學的高一學生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用模式，其中語文、數(shù)學、外語三科為必考科目，滿分各分，另外，考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物門科目中自選門參加考試（選），每科目滿分分.為了應(yīng)對新高考，某高中從高一年級名學生（其中男生人，女生人）中，采用分層抽樣的方法從中抽取n名學生進行調(diào)查.

（1）已知抽取的n名學生中含女生人，求n的值及抽取到的男生人數(shù)；

（2）學校計劃在高一上學期開設(shè)選修中的“物理”和“歷史”兩個科目，為了了解學生對這兩個科目的選課情況，對在（1）的條件下抽取到的名學生進行問卷調(diào)查（假定每名學生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目），下面表格是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表，請將下面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為選擇科目與性別有關(guān)？說明你的理由；

選擇“物理”

選擇“歷史”

總計

男生

10

女生

30

總計

（3）在抽取到的名女生中，在（2）的條件下，按選擇的科目進行分層抽樣，抽出名女生，了解女生對“歷史”的選課意向情況，在這名女生中再抽取人，求這人中選擇“歷史”的人數(shù)為人的概率.

參考數(shù)據(jù)：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式：，其中）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，已知焦點為的拋物線上有一動點，過點作拋物線的切線交軸于點.

（1）判斷線段的中垂線是否過定點，若是求出定點坐標，若不是說明理由；

（2）過點作的垂線交拋物線于另一點，求面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】“支付寶捐步”已經(jīng)成為當下最熱門的健身方式，為了了解是否使用支付寶捐步與年齡有關(guān)，研究人員隨機抽取了5000名使用支付寶的人員進行調(diào)查，所得情況如下表所示：

50歲以上

50歲以下

使用支付寶捐步

1000

1000

不使用支付寶捐步

2500

500

（1）由上表數(shù)據(jù)，能否有99.9%的把握認為是否使用支付寶捐步與年齡有關(guān)？

（2）55歲的老王在了解了捐步功能以后開啟了自己的捐步計劃，可知其在捐步的前5天，捐步的步數(shù)與天數(shù)呈線性相關(guān)．

第x天

第1天

第2天

第3天

第4天

第5天

步數(shù)

4000

4200

4300

5000

5500

（i）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的線性回歸方程；

（ii）記由（i）中回歸方程得到的預(yù)測步數(shù)為，若從5天中任取3天，記的天數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學期望．

附參考公式與數(shù)據(jù)：，；K2=；

P(K2≥k0)

0.100

0.050

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知平面上一動點A的坐標為.

（1）求點A的軌跡E的方程；

（2）點B在軌跡E上，且縱坐標為.

（i）證明直線AB過定點，并求出定點坐標；

（ii）分別以A，B為圓心作與直線相切的圓，兩圓公共弦的中點為H，在平面內(nèi)是否存在定點P，使得為定值？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率為，且橢圓上一點的坐標為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點，且以線段為直徑的圓過橢圓的右頂點，求面積的最大值.

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