【題目】已知定義在[1,+∞)上的函數(shù)f(x)= 給出下列結(jié)論: ①函數(shù)f(x)的值域為(0,8];
②對任意的n∈N,都有f(2n)=23﹣n;
③存在k∈( , ),使得直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象有5個公共點;
④“函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在n∈N,使得(a,b)(2n , 2n+1)”
其中正確命題的序號是( )
A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.②③④
【答案】C
【解析】解:①當(dāng)1≤x<2時,f(x)=﹣8x(x﹣2)=﹣8(x﹣1)2+8∈(0,8], ②∵f(1)=8,
∴f(2n)= f(2n﹣1)= f(2n﹣2)= f(2n﹣3)=…= f(20)= f(1)= ×8=23﹣n , 故②正確,
③當(dāng)x≥2時,f(x)= f( )∈0,4],故函數(shù)f(x)的值域為(0,8];故①正確,
當(dāng)2≤x<4時,1≤ <2,則f(x)= f( )= [﹣8( ﹣1)2+8]=﹣4( ﹣1)2+4,
當(dāng)4≤x<8時,2≤ <4,則f(x)= f( )= [﹣4( ﹣1)2+4]=﹣2( ﹣1)2+2
作出函數(shù)f(x)的圖象如圖:
作出y= x和y= x的圖象如圖,
當(dāng)k∈( , ),使得直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象有3個公共點;故③錯誤,
④由分段函數(shù)的表達式得當(dāng)x∈(2n , 2n+1)時,函數(shù)f(x)在(2n , 2n+1)上為單調(diào)遞減函數(shù),
則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在n∈N,使得(a,b)(2n , 2n+1)”為真命題.,故④正確,
故選:C
①根據(jù)分段函數(shù)的表達式結(jié)合函數(shù)的最值進行求解判斷,
②利用f(2n)= f(1)進行求解判斷,
③作出函數(shù)f(x)和y=kx的圖象,利用數(shù)形結(jié)合進行判斷,
④根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性進行判斷.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,其中a為常數(shù).
當(dāng)時,設(shè)函數(shù),判斷函數(shù)在上是增函數(shù)還是減函數(shù),并說明理由;
設(shè)函數(shù),若函數(shù)有且僅有一個零點,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)
(1)求證:
(2)若函數(shù)的圖象與直線沒有交點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù),則是否存在實數(shù),使得的最小值為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】為調(diào)查乘客的候車情況,公交公司在某站臺的60名候車乘客中隨機抽取15人,將他們的候車時間(單位:分鐘)作為樣本分成5組,如下表所示:
組別 | 候車時間 | 人數(shù) |
一 | [0,5) | 2 |
二 | [5,10) | 6 |
三 | [10,15) | 4 |
四 | [15,20) | 2 |
五 | [20,25] | 1 |
(Ⅰ)求這15名乘客的平均候車時間;
(Ⅱ)估計這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數(shù);
(Ⅲ)若從上表第三、四組的6人中隨機抽取2人作進一步的問卷調(diào)查,求抽到的兩人恰好來自不同組的概率.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(x∈R).
(1)證明:當(dāng)a>3時,f(x)在R上是減函數(shù);
(2)若函數(shù)f(x)存在兩個零點,求a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時,求證:.
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【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)解析式;
(2)判斷函數(shù)的奇偶性(給出結(jié)論即可);
(3)若方程
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【題目】袋子中放有大小和形狀相同而顏色互不相同的小球若干個, 其中標號為0的小球1個, 標號為1的小球1個, 標號為2的小球2個, 從袋子中不放回地隨機抽取2個小球, 記第一次取出的小球標號為,第二次取出的小球標號為.
(1) 記事件表示“”, 求事件的概率;
(2) 在區(qū)間內(nèi)任取2個實數(shù), 記的最大值為,求事件“”的概率.
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