【題目】在邊長(zhǎng)為3的正三角形ABC中,E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn),滿足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如圖(1)將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角,連結(jié)A1B、A1P(如圖(2)).
(1)求證:A1E⊥平面BEP;
(2)求二面角B﹣A1P﹣E的余弦值.
【答案】
(1)證明:在圖(1)中,取BE的中點(diǎn)D,連結(jié)DF,
∵AE:EB=CF:FA=1:2,∴AF=AD=2,
而∠A=60°,∴△ADF為正三角形.
又AE=DE=1,∴EF⊥AD.
在圖(2)中,A1E⊥EF,BE⊥EF,
∴∠A1EB為二面角A1﹣EF﹣B的一個(gè)平面角,
由題設(shè)條件知此二面角為直二面角,∴A1E⊥平面BEP
(2)解:分別以EB、EF、EA1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則E(0,0,0),B(2,0,0),P(1, ,0),A1(0,0,1),
, .
設(shè)面EA1P的法向量為 ,
則 ,取y=﹣1,得 =( ,﹣1,0);
設(shè)面BA1P的法向量為 ,
則 ,取y=1,得 =( ,1,2 ).
∴cos< >= = ,
∴二面角B﹣A1P﹣E的大小的余弦值為
【解析】(1)在圖(1)中,取BE的中點(diǎn)D,連結(jié)DF,由已知可得△ADF為正三角形.進(jìn)一步得到EF⊥AD.在圖(2)中,可得A1E⊥EF,BE⊥EF,即∠A1EB為二面角A1﹣EF﹣B的一個(gè)平面角,由題設(shè)條件知此二面角為直二面角,可得A1E⊥平面BEP; (2)分別以EB、EF、EA1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,然后分別求出面EA1P與面BA1P的一個(gè)法向量,求出兩法向量所成角的余弦值得答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)),圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求直線和圓的極坐標(biāo)方程;
(2)若射線與的交點(diǎn)為,與圓的交點(diǎn)為,且點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)復(fù)數(shù)z=2m+(4-m2)i,當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn):
(1)位于虛軸上?
(2)位于一、三象限?
(3)位于以原點(diǎn)為圓心,以4為半徑的圓上?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)且.
當(dāng)時(shí),函數(shù)恒有意義,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
是否存在這樣的實(shí)數(shù),使得函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),并且最大值為1?如果存在,試求出的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù));在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度,且以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸)中,直線的方程為.
(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)求直線被曲線截得的弦長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,曲線:,曲線: .以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求,的直角坐標(biāo)方程;
(2)與,交于不同四點(diǎn),這四點(diǎn)在上的排列順次為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平面中兩條直線和相交于點(diǎn)O,對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M,若x,y分別是M到直線和的距離,則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”.已知常數(shù)p≥0,q≥0,給出下列三個(gè)命題:
①若p=q=0,則“距離坐標(biāo)”為(0,0)的點(diǎn)有且只有1個(gè);
②若pq=0,且p+q≠0,則“距離坐標(biāo)”為(p,q)的點(diǎn)有且只有2個(gè);
③若pq≠0則“距離坐標(biāo)”為(p,q)的點(diǎn)有且只有4個(gè).
上述命題中,正確命題的是______.(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】執(zhí)行如圖的程序框圖,為使輸出S的值小于91,則輸入的正整數(shù)N的最小值為( )
A.5
B.4
C.3
D.2
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