Question

【題目】已知函數(shù)且．

當時，函數(shù)恒有意義，求實數(shù)的取值范圍；

是否存在這樣的實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）設是減函數(shù)，

又時，有意義

且

的取值范圍是

（2）假設存在實數(shù),滿足題設條件，在區(qū)間上單調遞減函數(shù)，且是減函數(shù)， 由已知即

但 這樣的實數(shù)不存在

【解析】

試題（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，可知且，時，顯然符合，時，由分離參數(shù)得，右邊函數(shù)在上單調遞減，故，故；（2）假設存在符合題設條件的實數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)單調性可知，由（1）知，由的最大值為，與不符，故不存在.

試題解析：

（1）當時，由函數(shù)恒有定義知恒成立，即，

∴，又且，∴實數(shù)的取值范圍為；

（2）假設存在符合題設條件的實數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且是減函數(shù)，

∴，又在上恒為正，則，故，由的最大值為，與不符，故不存在符合題設條件的實數(shù)．