Question

（2011•西山區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)P是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H是點(diǎn)M在x軸上的射影，坐標(biāo)平面xOy內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M滿足：

3

HM

=2

HP

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l交曲線C于D，E兩點(diǎn)，且2

DF

=

FE

，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為G，求直線GD的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），P（x₀，y₀），則H（x，0），由動(dòng)點(diǎn)M滿足：

3

HM

=2

HP

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），得出坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用P（x₀，y₀）是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上一動(dòng)點(diǎn)，即可求出曲線C的方程；
（Ⅱ）直線l：y=k（x-1），設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），由于2

DF

=

FE

，得坐標(biāo)之間的關(guān)系，聯(lián)立

y=k(x-1) x2+y2=4

，得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，利用韋達(dá)定理，即可求得k=±

15

3

，x1=

7

4

，x2=3-2x1=-

1

2

，再分k=

15

3

，k=-

15

3

分別求得求直線GD的方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），P（x₀，y₀），則H（x，0），
由動(dòng)點(diǎn)M滿足：

3

HM

=2

HP

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），即

3

(0，y)=2(x0-x，y0)
∴

x0=x y0= 3 y 2

∵P（x₀，y₀）是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上一動(dòng)點(diǎn)
∴

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1
∴

x2

4

+

( 3 y 2 )2

3

=1
∴x²+y²=4
∴曲線C的方程為x²+y²=4
（Ⅱ）直線l：y=k（x-1），設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），由于2

DF

=

FE

，
則 

2(1-x1)=x2-1 -2y1=y2

∴x₂=3-2x₁
聯(lián)立

y=k(x-1) x2+y2=4

，得（1+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
則 x₁+x₂=

2k2

1+k2

，…①x₁x₂=

k2-4

1+k2

，…②，
x₂=3-2x₁代入①、②得，3-x1=

2k2

1+k2

，…③3x1-2

x

2 1

=

k2-4

1+k2

，…④
由③、④得k=±

15

3

，x1=

7

4

…（9分）
∴x2=3-2x1=-

1

2

，
（i）若k=

15

3

時(shí)，y1=

15

3

(

7

4

-1)=

15

4

，y2=

15

3

(-

1

2

-1)=-

15

2

，
∴G(-

1

2

，

15

2

)，D(

7

4

，

15

4

)
∴kGD=

15 4 - 15 2

7 4 + 1 2

=-

15

9

，
∴直線GD的方程是y-

15

2

=-

15

9

(x+

1

2

)，即15x+9

15

y-60=0；
（ii）當(dāng)k=-

15

3

時(shí)，同理可求直線GD的方程是15x-9

15

y-60=0…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題時(shí)聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理是關(guān)鍵