(2011•西山區(qū)模擬)如圖,AB是⊙O的直徑,AC是弦,∠BAC的平分線AD交⊙O于D,DE⊥AC交AC延長線于點E,OE交AD于點F.
(Ⅰ)求證:DE是⊙O的切線;
(Ⅱ)若
AC
AB
=
3
5
,求
AF
DF
的值.
分析:(Ⅰ)根據(jù)OA=OD,得到∠ODA=∠OAD,結(jié)合AD是∠BAC的平分線,得到∠OAD=∠DAC=∠ODA,可得OD∥AE.再根據(jù)DE⊥AE,得到DE⊥OD,結(jié)合圓的切線的判定定理,得到DE是⊙O的切線.
(II)連接BC、DB,過D作DH⊥AB于H,因為AB是⊙O的直徑,所以在Rt△ACB中,求出cos∠CAB=
AC
AB
=
3
5
,再利用OD∥AE,所以∠DOH=∠CAB,得到Rt△HOD中,cos∠DOH=
OH
OD
=cos∠CAB=
3
5
.設(shè)OD=5x,則AB=10x,OH=3x,用勾股定理,在Rt△HOD中算出DH=4x,再在Rt△HAD中,算出AD2=80x2.最后利用△ADE∽△ADB,得到AD2=AE•AB=AE•10x,從而AE=8x,再結(jié)合△AEF∽△ODF,得出
AF
DF
=
AE
DO
=
8
5
解答:證明:(Ⅰ)連接OD,
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD
∵∠BAC的平分線是AD
∴∠OAD=∠DAC
∴∠DAC=∠ODA,可得OD∥AE…(3分)
又∵DE⊥AE,∴DE⊥OD
∵OD是⊙O的半徑
∴DE是⊙O的切線.…(5分)
(Ⅱ)連接BC、DB,過D作DH⊥AB于H,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
Rt△ABC中,cos∠CAB=
AC
AB
=
3
5

∵OD∥AE,∴∠DOH=∠CAB,
cos∠DOH=cos∠CAB=
3
5

∵Rt△HOD中,cos∠DOH=
OH
OD
,
OH
OD
=
3
5
,設(shè)OD=5x,則AB=10x,OH=3x,
∴Rt△HOD中,DH=
OD2-OH2
=4x,AH=AO+OH=8x,
Rt△HAD中,AD2=AH2+DH2=80x2…(8分)
∵∠BAD=∠DAE,∠AED=∠ADB=90°
∴△ADE∽△ADB,可得
AD
AE
=
AB
AD
,
∴AD2=AE•AB=AE•10x,而AD2=80x2
∴AE=8x
又∵OD∥AE,
∴△AEF∽△ODF,可得
AF
DF
=
AE
DO
=
8
5
…(10分)
點評:本題以角平分線和圓中的垂直線段為載體,通過證明圓的切線和求線段的比,考查了相似三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定、圓的切線的判定定理等知識點,屬于中檔題.
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