Question

【題目】如圖所示,A,B分別是橢圓C:=1(a>b>0)的左右頂點(diǎn),F為其右焦點(diǎn),2是|AF|與|FB|的等差中項(xiàng),是|AF|與|FB|的等比中項(xiàng).點(diǎn)P是橢圓C上異于A,B的任一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作直線l⊥x軸.以線段AF為直徑的圓交直線AP于點(diǎn)A,M,連接FM交直線l于點(diǎn)Q.

(1)求橢圓C的方程;

(2)試問(wèn)在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N,使得直線PQ必過(guò)該定點(diǎn)N?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

(1)根據(jù)題意，用a、c表示出|AF|、|FB，再根據(jù)等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)定義求出a、b、c，進(jìn)而求得橢圓方程。

(2)假設(shè)存在這樣的定點(diǎn)。設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P，由P再橢圓上，用x0表示y0，再表示出FM的方程，聯(lián)立FM與直線，得交點(diǎn)Q，進(jìn)而求得過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)。

(1)由題意得|AF|=a+c,|FB|=a-c,

即

解得a=2,c=1,∴b2=4-1=3.

∴所求橢圓的方程為=1.

(2)假設(shè)在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)N(n,0),使得直線PQ必過(guò)定點(diǎn)N(n,0).

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0),由于P點(diǎn)異于A,B,故y0≠0,

由點(diǎn)P在橢圓上,故有=1,

∴. ①

又由(1)知A(-2,0),F(1,0),

∴直線AP的斜率kAP=.

又點(diǎn)M是以線段AF為直徑的圓與直線AP的交點(diǎn),∴AP⊥FM.

∴kAP·kMF=-1kMF=-=-.

∴直線FM的方程y=-(x-1).

聯(lián)立FM,l的方程

得交點(diǎn)Q.

∴P,Q兩點(diǎn)連線的斜率kPQ=, ②

將①式代入②式,并整理得kPQ=,

又P,N兩點(diǎn)連線的斜率kPN=.

若直線QP必過(guò)定點(diǎn)N(n,0),則必有kPQ=kPN恒成立,即,

整理得4=-3(x0+2)(x0-n), ③

將①式代入③式,得4×=-3(x0+2)(x0-n),解得n=2,故直線PQ過(guò)定點(diǎn)(2,0).