Question

【題目】若函數(shù)f（x）= x3﹣ ax2+（a﹣1）x+1在區(qū)間（2，3）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（5，+∞）為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.[3，4]
B.[5，7]
C.[4，6]
D.[7，8]

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由f（x）= x3﹣ ax2+（a﹣1）x+1得f′（x）=x2﹣ax+a﹣1， 令f′（x）=0，解得x=1或x=a﹣1．
當a﹣1≤1，即a≤2時，f′（x）在（1，+∞）上大于0，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，不合題意；
當a﹣1＞1，即a＞2時，f′（x）在（﹣∞，1）上大于0，函數(shù)f（x）在（﹣∞，1）上為增函數(shù)，
f′（x）在（1，a﹣1）內(nèi)小于0，函數(shù)f（x）在（1，a﹣1）內(nèi)為減函數(shù)，f′（x）在（a﹣1，+∞）內(nèi)大于0，
函數(shù)f（x）在（a﹣1，+∞）上為增函數(shù)．
依題意應有：
當x∈（2，3）時，f′（x）＜0，
當x∈（5，+∞）時，f′（x）＞0．
∴3≤a﹣1≤5，解得4≤a≤6．
∴a的取值范圍是[4，6]．
故選：C．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．