【題目】設向量 =(sinx, cosx), =(﹣1,1), =(1,1),其中x∈(0,π].
(1)若( + )∥ ,求實數(shù)x的值;
(2)若 = ,求函數(shù)sinx的值.
【答案】
(1)解:向量 =(sinx, cosx), =(﹣1,1),
∴ + =(sinx﹣1, cosx+1);
又 =(1,1),且( + )∥ ,
∴(sinx﹣1)﹣( cosx+1)=0,
化簡得sinx﹣ cosx=2,
即2( sinx﹣ cosx)=2sin(x﹣ )=2,
∴sin(x﹣ )=1;
又x∈[0,π],
∴x﹣ ∈[﹣ , ],
∴x﹣ = ,
∴x= ;
(2)解: =﹣sinx+ cosx
=2( cosx﹣ sinx)
=2cos(x+ )
= ,
∴cos(x+ )= ;
又x∈[0,π],
則x+ ∈[ , ],
∴x+ ∈[ , ],
∴sin(x+ )= = ;
∴sinx=sin(x+ ﹣ )=sin(x+ ﹣ )
=sin(x+ )cos ﹣cos(x+ )sin
= × ﹣ ×
= .
【解析】(1)根據(jù)平面向量的坐標運算與共線定理,列出方程求出sinx的值,再根據(jù)x的取值范圍求出x的值;(2)根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和三角恒等變換,利用特殊角的三角函數(shù)值,即可求出sinx的值.
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【題目】已知等差數(shù)列{an}的首項a1=3,且公差d≠0,其前n項和為Sn , 且a1 , a4 , a13分別是等比數(shù)列{bn}的b2 , b3 , b4 . (Ⅰ)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式;
(Ⅱ)證明 .
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【題目】某商區(qū)停車場臨時停車按時段收費,收費標準為:每輛汽車一次停車不超過1小時收費6元,超過1小時的部分每小時收費8元(不足1小時的部分按1小時計算).現(xiàn)有甲、乙二人在該商區(qū)臨時停車,兩人停車都不超過4小時. (Ⅰ)若甲停車1小時以上且不超過2小時的概率為 ,停車付費多于14元的概率為 ,求甲停車付費恰為6元的概率;
(Ⅱ)若每人停車的時長在每個時段的可能性相同,求甲、乙二人停車付費之和為36元的概率.
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【題目】已知定義在R上的可導函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),滿足f′(x)>f(x),且f(x+2)為奇函數(shù),f(4)=﹣1,則不等式f(x)<ex的解集為( )
A.(﹣2,+∞)
B.(0,+∞)
C.(1,+∞)
D.(﹣∞,0)
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【題目】若函數(shù)f(x)= x3﹣ ax2+(a﹣1)x+1在區(qū)間(2,3)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間(5,+∞)為增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.[3,4]
B.[5,7]
C.[4,6]
D.[7,8]
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【題目】已知函數(shù)f(x)= sinxcosx﹣cos2x+ ,(x∈R).
(1)若對任意x∈[﹣ , ],都有f(x)≥a,求a的取值范圍;
(2)若先將y=f(x)的圖象上每個點縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,然后再向左平移 個單位得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)y=g(x)﹣ 在區(qū)間[﹣2π,4π]內(nèi)的所有零點之和.
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【題目】從2 012名學生中選取50名學生參加數(shù)學競賽,若采用下面的方法選。合扔煤唵坞S機抽樣從2 012人中剔除12人,剩下的2 000人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取50人,則在2 012人中,每人入選的概率( )
A.不全相等
B.均不相等
C.都相等,且為
D.都相等,且為
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【題目】若函數(shù)f(x)=1+ +sinx在區(qū)間[﹣k,k](k>0)上的值域為[m,n],則m+n=( )
A.0
B.1
C.2
D.4
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【題目】設α是空間中的一個平面,l,m,n是三條不同的直線,則下列命題中正確的是( )
A.若mα,nα,l⊥m,l⊥n,則l⊥α
B.若mα,n⊥α,l⊥n,則l∥m
C.若l∥m,m⊥α,n⊥α,則l∥n
D.若l⊥m,l⊥n,則n∥m
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