(本題滿分12分)國際上鉆石的重量計量單位為克拉．已知某種鉆石的價值υ(美元)與其重量ω(克拉)的平方成正比，且一顆重為3克拉的該種鉆石的價值為54000美元．

(1)寫出υ關于ω的函數(shù)關系式；(2)若把一顆鉆石切割成重量比為1∶3的兩顆鉆石，求價值損失的百分率；(3)試用你所學的數(shù)學知識證明：把一顆鉆石切割成兩顆鉆石時，按重量比為1∶1切割，價值損失的百分率最大．(注：價值損失的百分率 =  ×100％；在切割過程中的重量損耗忽略不計)

(Ⅰ) v =6000ω2   (Ⅱ) 37.5％．（Ⅲ）重量比為1∶1


解析:

(1)依題意設v=kω2，……2分

又當ω=3時，v=54000，∴k=6000，…3分 故v =6000ω2．……4分

(2)設這顆鉆石的重量為a克拉，由(1)可知，按重量比為l∶3切割后的價值為

6000(a)2+6000(a)2． 6分 價值損失為6000a一[6000(a)2+6000(a)2]．…7分

價值損失的百分率為

答：價值損失的百分率為37.5％．…8分

(3)若把一顆鉆石按重量比為m∶n切割成兩顆，價值損失的百分率應為

，…10分又，…11分

等號當且僅當m=n時成立.即重量比為1∶1時，價值損失的百分率達到最大．… 12分

練習冊系列答案
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（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設點為（，0），點在橢圓上（與、均不重合），點在直線上，若直線的方程為，且，試求直線的方程．

 

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（2）求線段BC中點M的坐標；

（3）求BC所在直線的方程.

 

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