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已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，點(1，-
3
2
)為橢圓上的一點，O為坐標原．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知直線l：y=kx+m為圓x2+y2=
4
5
的切線，直線l交橢圓于A、B兩點，求證：∠AOB為直角．
（Ⅰ）依題可得：
e=
c
a
=
3
2
1
a2
+
3
4b2
=1
a2=b2+c2
⇒a=2，b=1，c=
3

所以橢圓的方程為：
x2
4
+y2=1（4分）
（Ⅱ）由
y=kx+m
x2
4
+y2=1
得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
設A（x1，y1）B（x2，y2），
x1+x2=
-8km
1+4k2
，x1•x2=
4m2-4
1+4k2
，
又
OA
•
OB
=x1•x2+y1y2
=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）
=（k2+1）
4m2-4
1+4k2
+km
-8km
1+4k2
+m2
=
5m2-4k2-4
1+4k2
，
∵直線l與圓x2+y2=
4
5
相切，
∴原點O到直線l的距離為：
|m|
1+k2
=
2
5
5
∴5m2=4k2+4
∴x1•x2+y1•y2=0
∴∠AOB為直角．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

圓心是（1，-2），半徑是4的圓的標準方程是（　�。�
A．（x-1）2+（y+2）2=4B．（x-1）2+（y+2）2=16
C．（x+1）2+（y-2）2=4D．（x+1）2+（y-2）2=16

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

若兩條直線y=x+2a，y=2x+a的交點P在圓（x-1）2+（y-1）2=4的內部，則實數a的取值范圍是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知圓M的圓心在直線x-2y+4=0上，且與x軸交于兩點A（-5，0），B（1，0）．
（Ⅰ）求圓M的方程；
（Ⅱ）求過點C（1，2）的圓M的切線方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知點A（1，a），圓x2+y2=4．
（1）若過點A的圓的切線只有一條，求a的值及切線方程；
（2）若過點A且在兩坐標軸上截距相等的直線與圓相切，求切線方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

過直線l：y=2x上一點P作圓C：x2+y2-16x-2y+63=o的切線l1，l2，若l1，l2關于直線l對稱，則點P到圓心C的距離為______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

若圓x2+y2=r2（r＞0）上僅有4個點到直線x-y-2=0的距離為1，則實數r的取值范圍是（　�。�
A．(0，
2
-1)		B．(
2
-1，
2
+1)		C．(
2
+1，+∞)		D．(0，
2
+1)

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

設M是圓x2+y2-2x-2y+1=0上的點，則M到直線3x+4y-22=0的最長距離是______，最短距離是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

若直線y=x+m和曲線y=
1-x2
有兩個不同的交點，則m的取值范圍是______．

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