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【題目】已知f(x)=e2x﹣x2﹣a.
(1)證明f(x)在(﹣∞,+∞)上為增函數;
(2)當a=1時,解不等式f[f(x)]>x;
(3)若f[f(x)﹣x2﹣2x]>f(x)在(0,+∞)上恒成立,求a的最大整數值.

【答案】
(1)證明:f'(x)=2e2x﹣2x=2(e2x﹣x),

設g(x)=e2x﹣x,g'(x)=2e2x﹣1=0, ,

x,g′(x),g(x)的變化如下:

x

(﹣∞, ln

ln

ln ,+∞)

g′(x)

0

+

g(x)

極小值

=

∴g(x)>0,∴f'(x)>0,∴f(x)在R上為增函數


(2)解:a=1時,f(x)=e2x﹣x2﹣1,

∵f(x)在R上為增函數,∴若f(x)≤x,

則f[f(x)]≤f(x)≤x,與f[f(x)]>x矛盾;

若f(x)>x,則f[f(x)]>f(x)>x,故成立.

經化簡f[f(x)]>x,則f(x)>x,∴e2x﹣x2﹣1>x,即e2x>x2+x+1,

∵x2+x+1>0,即2x>ln(x2+x+1),

∴設h(x)=2x﹣ln(x2+x+1),

h′(x)=2﹣ = >0,

∴h(x)在R上為增函數,∴h(x)>h(0),得x>0,

∴原不等式解集為(0,+∞)


(3)解:∵f(x)在R上為增函數,∴f(x)﹣x2﹣2x>x,即e2x﹣2x2﹣3x>a,

令G(x)=e2x﹣2x2﹣3x,G′(x)=2e2x﹣4x﹣3=2(e2x﹣2x﹣ ),

設H(x)=e2x﹣2x﹣ ,H′(x)=2e2x﹣2,

∴x>0時,e2x>1,H′(x)>0,

∴H(x)在(0,+∞)為增函數,

∴G′(x)=2H(x)在(0,+∞)為增函數,

G′( )=2(e﹣ )>0,G′( )=2( )<0,

∴G'(x)=0有任一解,設為x0∈( , ),

∴x>0時,x,G′(x),G(x)的變化如下:

x

(0,x0

x0

(x0,+∞)

G′(x)

0

+

G(x)

極小值

∴G(x)min=G(x0)= ﹣2 ﹣3x0

﹣2x0 =0,即 =2x0+

∴G(x)min=﹣2 ﹣x0+ ∈( , ),

又∵a∈Z,∴amax=0


【解析】(1)求出函數的導數,求出導函數的導數,求出導函數的單調區(qū)間,從而證明函數的單調性即可;(2)求出函數的解析式,問題轉化為e2x>x2+x+1,由x2+x+1>0,得2x>ln(x2+x+1),設h(x)=2x﹣ln(x2+x+1),根據函數的單調性求出不等式的解集即可;(3)令G(x)=e2x﹣2x2﹣3x,求出函數的導數,設H(x)=e2x﹣2x﹣ ,根據函數的單調性求出G(x)的最小值,從而求出a的最大值即可.
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本,需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞減;求函數上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數內的極值;(2)將函數的各極值與端點處的函數值比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

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