Question

【題目】已知實(shí)數(shù)，函數(shù).

（Ⅰ）證明：對(duì)任意，恒成立；

（Ⅱ）如果對(duì)任意均有，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)得到函數(shù)，故只需證，設(shè)，求導(dǎo)得到，得到證明.

（Ⅱ）對(duì)任意有意義，，令可得， 所以，再證明對(duì)任意，任意，不等式恒成立，考慮關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性得到，計(jì)算函數(shù)單調(diào)性得到證明.

（Ⅰ）易知的定義域?yàn)?/span>，

若，則，

，

則在單調(diào)增，在單調(diào)減，

所以.

要證恒成立，只需證.

令，.

，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故，由于，

∴，即恒成立.

（Ⅱ），即.（*）

1°（*）對(duì)任意有意義，

當(dāng)時(shí)，，∴；

2°若（*）對(duì)任意恒成立，則.

特別地，在（*）中令可得，

故.

注意到在單調(diào)增，

且，所以當(dāng)且僅當(dāng).

3°下面證明：對(duì)任意，任意，不等式（*）恒成立.

首先，將正實(shí)數(shù)給定，考慮關(guān)于的函數(shù)，

注意到在單調(diào)增，

故.

下面只需說(shuō)明：對(duì)于恒成立即可.

顯然，故只需說(shuō)明在單調(diào)增，在單調(diào)減.

當(dāng)時(shí)，，

故；

當(dāng)時(shí)，，

故.因此在單調(diào)增，在單調(diào)減.

綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.