Question

【題目】設數列的前項和，對任意，都有（為常數）．

（1）當時，求；

（2）當時，

（ⅰ）求證：數列是等差數列；

（ⅱ）若對任意，必存在使得，已知，且，求數列的通項公式．

Answer 1

【答案】(1) .

(2) （ⅰ）證明見解析；（ⅱ）.

【解析】

（1）利用項和公式求出是以1為首項，3為公比的等比數列，再求.(2) （ⅰ）證明即證數列是等差數列. （ⅱ）先求得，所以或，再求，再檢驗即得數列的通項公式.

（1）當，，時，．①

當時，，所以．

當時，．②

①－②得：．因為，所以，所以，

所以是以1為首項，3為公比的等比數列，

所以．

（2）（�。┊�，，時，．③

當時，．④

③－④得：，⑤

所以．⑥

⑤－⑥得：．

因為，所以 即，

所以是等差數列．

（ⅱ）因為，所以．

因為，所以，所以．

因為，所以．又因為，

所以，所以或．

當時，，，，

所以 不符合題意．

當時，，，

所以滿足題意．

所以．