Question

【題目】已知奇函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,1]，當(dāng)時(shí)，。

（1）求函數(shù)在上的值域；

（2）若時(shí)，函數(shù)的最小值為-2，求實(shí)數(shù)λ的值。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用函數(shù)的奇偶性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）在上的值域．

（2）根據(jù)f（x）的范圍，利用條件以及二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論求得實(shí)數(shù)λ的值．

（1）設(shè)x∈（0，1]，則﹣x∈[﹣1，0）時(shí)，所以f（﹣x）2x．

又因?yàn)?/span>f（x）為奇函數(shù)，所以有f（﹣x）＝﹣f（x），

所以當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）＝﹣f（﹣x）＝2x，所以在上的值域?yàn)椋?，2]，

（2）由（1）知當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）∈（1，2]，

所以f（x）∈（，1]．

令tf（x），則 t≤1，

g（t）f2（x）f（x）+1＝t2﹣λt+11，

①當(dāng)，即λ≤1時(shí)，g（t）＞g（），無最小值，

②當(dāng)1，即1＜λ≤2時(shí)，g（t）min＝g（）＝12，

解得λ＝±2 （舍去）．

③當(dāng)1，即λ＞2時(shí)，g（t）min＝g（1）＝﹣2，解得λ＝4，

綜上所述，λ＝4．