Question

【題目】定義：是無窮數(shù)列，若存在正整數(shù)k使得對任意，均有則稱是近似遞增（減）數(shù)列，其中k叫近似遞增（減）數(shù)列的間隔數(shù)

（1）若，是不是近似遞增數(shù)列，并說明理由

（2）已知數(shù)列的通項公式為，其前n項的和為，若2是近似遞增數(shù)列的間隔數(shù)，求a的取值范圍：

（3）已知，證明是近似遞減數(shù)列，并且4是它的最小間隔數(shù).

Answer 1

【答案】（1）是近似遞增數(shù)列，詳見解析（2）（3）證明見解析；

【解析】

（1）根據(jù)近似遞增數(shù)列的定義判斷可知是近似遞增數(shù)列；

（2）求出，根據(jù)，即恒成立，可得；

（3）因為等價于，因為n，k是正整數(shù)，所以，均取不到，所以時上式恒成立，可得是近似遞減數(shù)列，再驗證時，不是近似遞減數(shù)列，則可得4是它的最小間隔數(shù).

（1）是近似遞增數(shù)列,理由如下：

因為，

或[注：2，3，4，…，都是間隔數(shù).]

即，所以是近似遞增數(shù)列.

（2）由題意得，

所以對任意恒成立，

即恒成立，.

令，則，

即a的取值范圍是.

（3）因為等價于，

即，（*）

因為n，k是正整數(shù)，所以，均取不到，

所以時上式恒成立，即是近似遞減數(shù)列，4是它的間隔數(shù).

當，當時，，故不等式（*）不成立；

當，當時，，故不等式（*）不成立；

當，當時，，故不等式（*）不成立；

所以，4是它的最小間隔數(shù).