【題目】已知多面體中，四邊形為平行四邊形， ，且， ， ， .

（1）求證：平面平面；

（2）若，直線與平面夾角的正弦值為，求的值.

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合線面垂直的判斷定理可得平面，然后利用面面垂直的判斷定理即可證得平面平面.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合題意利用夾角公式可得求得直線與平面的夾角的正弦值，據(jù)此可得.

試題解析：

（1）∵， ，∴，

∴；

又， ，∴平面；

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（2）因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面， ，

所平面， 平面，故；

以為原點(diǎn)， 所在直線分別為軸，過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則， ， ， ，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，

因?yàn)?/span>， ，

∴，取， ，則，

，

設(shè)直線與平面的夾角為，

故，解得（舍去），故.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2020年1月10日，中國(guó)工程院院士黃旭華和中國(guó)科學(xué)院院士曾慶存榮獲2019年度國(guó)家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng).曾慶存院士是國(guó)際數(shù)值天氣預(yù)報(bào)奠基人之一，他的算法是世界數(shù)值天氣預(yù)報(bào)核心技術(shù)的基礎(chǔ)，在氣象預(yù)報(bào)中，過往的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)至關(guān)重要，如圖是根據(jù)甲地過去50年的氣象記錄所繪制的每年高溫天數(shù)(若某天氣溫達(dá)到35 ℃及以上，則稱之為高溫天)的頻率分布直方圖.若某年的高溫天達(dá)到15天及以上，則稱該年為高溫年，假設(shè)每年是否為高溫年相互獨(dú)立，以這50年中每年高溫天數(shù)的頻率作為今后每年是否為高溫年的概率.

（1）求今后4年中，甲地至少有3年為高溫年的概率.

（2）某同學(xué)在位于甲地的大學(xué)里勤工儉學(xué)，成為了校內(nèi)奶茶店(消費(fèi)區(qū)在戶外)的店長(zhǎng)，為了減少高溫年帶來(lái)的損失，該同學(xué)現(xiàn)在有兩種方案選擇：方案一：不購(gòu)買遮陽(yáng)傘，一旦某年為高溫年，則預(yù)計(jì)當(dāng)年的收入會(huì)減少6000元；方案二：購(gòu)買一些遮陽(yáng)傘，費(fèi)用為5000元，可使用4年，一旦某年為高溫年，則預(yù)計(jì)當(dāng)年的收入會(huì)增加1000元.以4年為期，試分析該同學(xué)是否應(yīng)該購(gòu)買遮陽(yáng)傘？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】PM2.5是空氣質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo)，我國(guó)PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空氣質(zhì)量為一級(jí)，在35μg/m3～75μg/m3之間空氣質(zhì)量為二級(jí)，在75μg/m3以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).如圖是某市2019年12月1日到10日PM2.5日均值（單位：μg/m3）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，則下列敘述不正確的是（ ）

A.這10天中，12月5日的空氣質(zhì)量超標(biāo)

B.這10天中有5天空氣質(zhì)量為二級(jí)

C.從5日到10日，PM2.5日均值逐漸降低

D.這10天的PM2.5日均值的中位數(shù)是47

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】一對(duì)夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付將來(lái)上大學(xué)的費(fèi)用，從孩子一周歲生日開始，每年到銀行儲(chǔ)蓄元一年定期，若年利率為保持不變，且每年到期時(shí)存款（含利息）自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，當(dāng)孩子18歲生日時(shí)不再存入，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數(shù)為　　

A.B.

C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，底面是梯形，，，，為棱上一點(diǎn).

(1)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，證明：平面.

(2) ，試確定的值使得二面角的大小為.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】地球的公轉(zhuǎn)軌道可以看作是以太陽(yáng)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)第二定律，可知太陽(yáng)和地球的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積，某同學(xué)結(jié)合物理和地理知識(shí)得到以下結(jié)論：①地球到太陽(yáng)的距離取得最小值和最大值時(shí)，地球分別位于圖中點(diǎn)和點(diǎn)；②已知地球公轉(zhuǎn)軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)約為千米，短半軸長(zhǎng)約為千米，則該橢圓的離心率約為.因此該橢圓近似于圓形：③已知我國(guó)每逢春分（月日前后）和秋分（月日前后），地球會(huì)分別運(yùn)行至圖中點(diǎn)和點(diǎn)，則由此可知我國(guó)每年的夏半年（春分至秋分）比冬半年（當(dāng)年秋分至次年春分）要少幾天.以上結(jié)論正確的是（ ）

A.①B.①②C.②③D.①③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，斜三棱柱中，，，，D是的中點(diǎn).

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】從一批蘋果中，隨機(jī)抽取50個(gè)，其重量（單位：克）的頻數(shù)分布表如下：

（1）根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算蘋果的重量在的頻率；

（2）用分層抽樣的方法從重量在和的蘋果中共抽取4個(gè)，其中重量在的有幾個(gè)？

（3）在（2）中抽出的4個(gè)蘋果中，任取2個(gè)，寫出所有可能的結(jié)果，并求重量在和中各有1個(gè)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】自新冠肺炎疫情發(fā)生以來(lái)，某社區(qū)積極防范，并利用網(wǎng)絡(luò)對(duì)本社區(qū)居民進(jìn)行新冠肺炎防御知識(shí)講座，為了解該社區(qū)居民對(duì)防御知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)100人，統(tǒng)計(jì)得到如下列聯(lián)表：

（1）請(qǐng)根據(jù)2x2列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為防御知識(shí)掌握情況與年齡有關(guān)；

（2）為了進(jìn)一步提高該社區(qū)的防御意識(shí)，該社區(qū)采用分層抽樣的方法，從調(diào)查的完全掌握的居民中抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)選取2人作為下一次講座的講解員，設(shè)X為這2人中年齡小于或等于50歲的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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