【題目】已知橢圓的離心率為,直線與相切于點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,與直線相交于(,,,均不重合).證明:為定值.
【答案】(1);(2)詳見解析.
【解析】
(1)根據(jù)題意求出a,b,c,即可得到橢圓的方程;(2)將直線:與橢圓方程聯(lián)立得解得P點(diǎn)坐標(biāo),將直線:與直線:方程聯(lián)立解得點(diǎn)的坐標(biāo),從而得到進(jìn)而得到,從而得證.
(1)解:由題意得.
于是橢圓的方程可表示為.
聯(lián)立,得.
因?yàn)橹本:與相切,所以,得,
故橢圓的方程為.
(2)證明:將直線:與橢圓方程聯(lián)立得解得
即點(diǎn)的坐標(biāo)為.
將直線:與直線:方程聯(lián)立得解得
即點(diǎn)的坐標(biāo)為,
.
將直線:與橢圓方程聯(lián)立得
代入化簡得,
,得且.
記,的坐標(biāo)分別為,,
則,,
所以 .
同理,,
故
,
故,即為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時,f(x)=-x2+ax.
(1)若a=-2,求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)減函數(shù),
①求a的取值范圍;
②若對任意實(shí)數(shù)m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面,底面是直角梯形,,,是上的一點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)若是的中點(diǎn),,且直線與平面所成角的正弦值為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)同時滿足:(1)對于定義域內(nèi)的任意,有;(2)對于定義域內(nèi)的任意,當(dāng)時,有,則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”.給出下列四個函數(shù):①;②;③;④.
其中是“理想函數(shù)”的序號是( )
A.①②B.②③C.②④D.③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)當(dāng)時,求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值;
(2)若曲線上的所有點(diǎn)都在直線的下方,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某影院共有1000個座位,票價不分等次,根據(jù)該影院的經(jīng)營經(jīng)驗(yàn),當(dāng)每張票價不超過10元時,票可全部售出,當(dāng)每張票價高于10元時,每提高1元,將有30張票不能售出,為了獲得更好的收益,需給影院一個合適的票價,符合的基本條件是:
①為了方便找零和算賬,票價定為1元的整數(shù)倍;
②影院放映一場電影的成本費(fèi)為5750元,票房收入必須高于成本支出.
(1)設(shè)定價為()元,凈收入為元,求關(guān)于的表達(dá)式;
(2)每張票價定為多少元時,放映一場的凈收入最多?此時放映一場的凈收入為多少元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù).
(1)求a的值,并證明是R上的增函數(shù);
(2)若關(guān)于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0的解集非空,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是橢圓()的左頂點(diǎn),左焦點(diǎn)是線段的中點(diǎn),拋物線的準(zhǔn)線恰好過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖所示,過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn),交軸于點(diǎn),若為線段的中點(diǎn),過作與直線垂直的直線,證明對于任意的(),直線過定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】采用系統(tǒng)抽樣方法從人中抽取人做問卷調(diào)查,為此將他們隨機(jī)編號為,,,,分組后某組抽到的號碼為41.抽到的人中,編號落入?yún)^(qū)間 的人數(shù)為( )
A. 10 B. C. 12 D. 13
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