Question

【題目】已知函數(shù)

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）過(guò)點(diǎn)存在幾條直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，并說(shuō)明理由；

（3）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；（2）三條切線(xiàn)，理由見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)，分別令，，得到的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)得切線(xiàn)斜率，表示出切線(xiàn)方程，代入過(guò)點(diǎn)，得到的方程，解出的值，從而得到結(jié)論；

（3）設(shè)，分為，，進(jìn)行討論，易得，時(shí)的情況，當(dāng)時(shí)，易得時(shí)成立，時(shí)，令，利用導(dǎo)數(shù)，得到，從而得到的范圍.

（1），

得，或；

得，；

所以的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為；

（2）過(guò)點(diǎn)可做的三條切線(xiàn)；理由如下：

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以切線(xiàn)斜率

所以過(guò)切點(diǎn)的切線(xiàn)方程為：，

切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，代入得，

化簡(jiǎn)得，

方程有三個(gè)解，，，，即三個(gè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)，

所以過(guò)點(diǎn)可做的三條切線(xiàn).

（3）設(shè)，

①時(shí)，因?yàn)?/span>，，所以顯然對(duì)任意恒成立；

②時(shí)，若，則不成立，

所以不合題意.

③時(shí)，時(shí)，顯然成立，

只需考慮時(shí)情況；

轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立

令（），

則，

，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)增；

所以，

所以.

綜上所述，的取值范圍.