Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，三點(diǎn)，，中僅有一個(gè)點(diǎn)在拋物線上．

(Ⅰ)求的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn)．若直線與的斜率之和為，證明：過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線對(duì)稱性確定在拋物線上，代入可得，（2）先設(shè)坐標(biāo)，根據(jù)斜率公式化簡(jiǎn)條件直線與的斜率之和為，得，再聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得，根據(jù)點(diǎn)斜式可得定點(diǎn).

(Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn),關(guān)于軸對(duì)稱，故兩個(gè)點(diǎn)都不在拋物線上．

所以僅在拋物線上，計(jì)算得，解得，

所以．經(jīng)驗(yàn)證,都不在上．

（Ⅱ）由題意得直線斜率不為，設(shè)直線，，與的斜率分別為．將與聯(lián)立，并消去，得：，

故有；．又因?yàn)?/span>，

所以，解得

又因?yàn)?/span>，所以，即，

解得，即，故，必過(guò)定點(diǎn)．