【題目】已知函數(shù)．

（1）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)．

（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ⅱ）求證：．

【答案】（1）；（2）（i），（ⅱ）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由題，得對(duì)任意上恒成立，即對(duì)任意上恒成立，分，，三種情況考慮，即可得到本題答案；

（2）（i）函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，通過(guò)考慮在的取值范圍，即可得到本題答案；

（ⅱ）由題，可證得，又由（i）得，綜上，即可得到本題答案.

（1）據(jù)題意，得對(duì)任意上恒成立，

∴對(duì)任意上恒成立.

令，則.

①當(dāng)時(shí)，，在上為單調(diào)遞增函數(shù).

又∵，

∴當(dāng)時(shí)，，不合題意；

②當(dāng)時(shí)，若，則，在上為單調(diào)遞增函數(shù).

又∵，

∴當(dāng)時(shí)，，不合題意；

③當(dāng)時(shí)，若，則，在上為單調(diào)遞減函數(shù).

又，

∴當(dāng)時(shí)，，符合題意.

綜上，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（2）令，，∴.

令．

分析知，關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（i）引入，則.

分析知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

且，

∴，

即所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（ⅱ）∵，，

∴．

不妨設(shè)，則，

∴

．

令，則，

∴當(dāng)時(shí)，，

∴在上為單調(diào)遞增函數(shù)．

∴，即．

∴．

∴，

∴，

∴．

又由（i），得，∴

∴．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的方程為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)．

（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程和點(diǎn)的極坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)在曲線(xiàn)上，求面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，橢圓：的離心率為，設(shè)，分別為橢圓的右頂點(diǎn)，下頂點(diǎn)，的面積為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)：交橢圓于，兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，若，求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)（不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)）與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)在軸下方，若，求直線(xiàn)的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某電視臺(tái)舉行文藝比賽，并通過(guò)網(wǎng)絡(luò)對(duì)比賽進(jìn)行直播.比賽現(xiàn)場(chǎng)由5名專(zhuān)家組成評(píng)委給每位參賽選手評(píng)分，場(chǎng)外觀(guān)眾也可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)給每位參賽選手評(píng)分.每位選手的最終得分需要綜合考慮專(zhuān)家評(píng)分和觀(guān)眾評(píng)分.某選手參與比賽后，現(xiàn)場(chǎng)專(zhuān)家評(píng)分情況如下表.另有約數(shù)萬(wàn)名場(chǎng)外觀(guān)眾參與評(píng)分，將觀(guān)眾評(píng)分按照分組，繪成頻率分布直方圖如下圖.

（Ⅰ）求a的值，并用頻率估計(jì)概率，估計(jì)某場(chǎng)外觀(guān)眾評(píng)分不小于9的概率；

（Ⅱ）從現(xiàn)場(chǎng)專(zhuān)家中隨機(jī)抽取2人，求其中評(píng)分高于9分的至少有1人的概率；

（Ⅲ）考慮以下兩種方案來(lái)確定該選手的最終得分.

方案一：計(jì)算所有專(zhuān)家與觀(guān)眾評(píng)分的平均數(shù)作為該選手的最終得分；

方案二：分別計(jì)算專(zhuān)家評(píng)分的平均數(shù)和觀(guān)眾評(píng)分的平均數(shù)，用作為該選手最終得分.

請(qǐng)直接寫(xiě)出與的大小關(guān)系.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知如圖，直線(xiàn)是拋物線(xiàn)（）和圓C：的公切線(xiàn)，切點(diǎn)（在第一象限）分別為P、Q.F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，切線(xiàn)交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于A，且.

（1）求切線(xiàn)的方程；

（2）求拋物線(xiàn)的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切也與曲線(xiàn)相切，則稱(chēng)直線(xiàn)為曲線(xiàn)和曲線(xiàn)的公切線(xiàn)，已知函數(shù)，其中，若曲線(xiàn)和曲線(xiàn)的公切線(xiàn)有兩條，則的取值范圍為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖， 是邊長(zhǎng)為3的正方形， 平面， 平面， .

（1）證明：平面平面；

（2）在上是否存在一點(diǎn)，使平面將幾何體分成上下兩部分的體積比為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ．

（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范圍．

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