Question

直線y=x+b與曲線x=

1-y2

有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則b的取值范圍是（　　）

• A．|b|=

  2

• B．-1＜b≤1且b=-

  2

• C．-1≤b≤1
• D．非A、B、C結(jié)論

Answer 1

分析：由曲線方程的特點(diǎn)得到此曲線表示在y軸右邊的單位圓的一半，可得出圓心坐標(biāo)和圓的半徑r，然后根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，根據(jù)圖形找出三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：直線過(guò)（0，-1）；直線過(guò)（0，1）以及直線與圓相切且切點(diǎn)在第四象限，把（0，-1）與（0，1）代入直線y=x+b中求出相應(yīng)的b值，根據(jù)圖形得到直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)b的范圍，再由直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于b的方程，求出方程的解得到b的值，此時(shí)直線與曲線也只有一個(gè)交點(diǎn)，綜上，得到滿(mǎn)足題意的b的范圍．

解答：解：由題意可知：曲線方程表示一個(gè)在y軸右邊的單位圓的一半，
則圓心坐標(biāo)為（0，0），圓的半徑r=1，
畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如圖所示：

∵當(dāng)直線y=x+b過(guò)（0，-1）時(shí)，把（0，-1）代入直線方程得：b=-1，
當(dāng)直線y=x+b過(guò)（0，1）時(shí)，把（0，1）代入直線方程得：b=1，
∴當(dāng)-1＜b≤1時(shí)，直線y=x+b與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
又直線y=x+b與半圓相切時(shí)，圓心到直線的距離d=r，即

|b|

2

=1，
解得：b=

2

（舍去）或b=-

2

，
綜上，直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍為-1＜b≤1或b=-

2

．
故選B

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)題意得出此曲線表示在y軸右邊的單位圓的一半，并畫(huà)出相應(yīng)的圖形是解本題的關(guān)鍵．