Question

直線y=x+b與曲線x+1=

1-y2

有兩個交點，則b的取值范圍是

(1-

2

，0]

．

Answer 1

分析：曲線即 （x+1）²+y²=1（ x≥-1），表示以C（-1，0）為圓心，半徑等于1的半圓．由題意可得直線y=x+b與
半圓有2個交點，求出直線y=x+b過點A（-1，-1）時的b值，再求出直線和半圓相切時的b值，數形結合可得結論．

解答：解：曲線x+1=

1-y2

，即 （x+1）²+y²=1（ x≥-1），
表示以C（-1，0）為圓心，半徑等于1的半圓（在直線x-1的右側），
由題意可得，直線y=x+b與半圓有2個交點．如圖所示：
當直線y=x+b過點A（-1，-1）時，把點A的坐標代入可得-1=-1+b，b=0．
當直線y=x+b和半圓相切時，由圓心C（-1，0）到直線y=x+b的距離等于半徑可得

|-1-0+b|

2

=1，
解得b=-1+

2

（舍去），或 b=-1-

2

．
故b的取值范圍是(1-

2

，0]，
故答案為 (1-

2

，0]．

點評：本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，體現了數形結合
的數學思想，屬于中檔題．